Théorème de Thalès et similitude
Configurations triangle et papillon · réciproque · calculer une longueur · prouver des droites parallèles · triangles semblables · coefficient de similitude · homothétie.
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Comprendre
La proportionnalité appliquée à la géométrie
①Énoncé et configuration triangle
Deux sécantes se croisent en un point S. Deux droites parallèles coupent ces sécantes en créant un point sur chaque demi-droite. C'est la configuration de base de Thalès.
Lecture des rapports : les numérateurs sont les segments les plus proches de S, les dénominateurs les plus éloignés. On écrit toujours les rapports dans le même sens, de S vers l'extérieur.
②Configuration papillon
Dans la configuration papillon, le point S est situé entre les points de chaque sécante : les deux droites parallèles se retrouvent de part et d'autre de S, et les segments se croisent en formant un papillon.
Comment trancher entre les deux configurations
③La réciproque : prouver que deux droites sont parallèles
Condition à vérifier avant tout : les points doivent être dans le même ordre sur chaque sécante (S, puis le point le plus proche, puis le plus éloigné).
Mode d'emploi
④Triangles semblables et critères
Deux triangles sont semblables s'ils ont les mêmes angles : même forme, mais pas forcément la même taille. La similitude est plus générale que l'isométrie, car elle n'exige pas l'égalité des côtés, seulement leur proportionnalité.
Le lien avec Thalès
⑤Coefficient de similitude et homothétie
| Grandeur | Relation avec k | Exemple k = 3 |
|---|---|---|
| Longueurs | multipliées par k | côté × 3 |
| Aires | multipliées par k² | aire × 9 |
| Volumes | multipliés par k³ | volume × 27 |
L'homothétie de centre O et de rapport k associe à tout point M le point M' tel que OM' = k × OM, sur la même demi-droite issue de O lorsque k > 0. C'est la formalisation géométrique de l'agrandissement et de la réduction.
Construction : tracer la demi-droite [OM), puis placer M' tel que OM' = k × OM, et répéter pour chaque sommet.
Homothétie et Thalès, la même configuration
Piège n°1 : écrire les rapports à l'envers
On croit : SA/SA' = SB/SB' (on mélange les deux sécantes dans un même rapport).
En réalité : SA/SB = SA'/SB' : dans chaque rapport, les deux segments sont sur la MÊME sécante.
Vérifier que numérateur et dénominateur appartiennent à la même droite avant de calculer.
Piège n°2 : multiplier l'aire par k au lieu de k²
On croit : Deux triangles semblables, k = 3, aire de 10 cm² : aire image = 3 × 10 = 30 cm².
En réalité : Les aires sont multipliées par k² = 9 : aire image = 9 × 10 = 90 cm².
Longueurs ×k, aires ×k², volumes ×k³. La dimension de la grandeur donne la puissance de k.
Piège n°3 : appliquer Thalès sans vérifier l'ordre des points
On croit : Écrire SA/SB = SA'/SB' alors que l'ordre sur la sécante est S, B, A.
En réalité : Thalès exige l'ordre S, point proche, point éloigné. Si l'ordre change, les rapports changent.
Annoter la figure et noter l'ordre des points depuis S avant d'écrire le moindre rapport.
Piège n°4 : ne pas nommer la réciproque dans la conclusion
On croit : « Les rapports sont égaux, donc les droites sont parallèles. »
En réalité : « D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AA') et (BB') sont parallèles. »
Nommer le théorème : « Thalès » pour calculer, « réciproque du théorème de Thalès » pour le parallélisme.
Au cycle 3 (CM1 à 6e), les élèves travaillent les agrandissements et réductions de figures : reproduire une figure sur quadrillage en doublant les dimensions, calculer les dimensions d'une maquette à l'échelle. C'est la base intuitive de la similitude et de la proportionnalité géométrique, qui prépare Thalès. Le théorème lui-même et l'homothétie sont introduits au cycle 4.
Ce qu'il faut maîtriser pour le CRPE : les deux configurations (triangle et papillon), énoncer la réciproque avec précision, rédiger correctement (nommer les points, justifier l'ordre), et utiliser le coefficient de similitude pour les aires et les volumes.
Une idée fausse très répandue chez les élèves : doubler les côtés double l'aire. Savoir l'expliquer concrètement (quatre petits carrés tiennent dans un carré de côté double) est une compétence directement attendue du futur enseignant.
Méthode
La rédaction compte autant que le calcul
Dans un triangle SAA', (BB') ∥ (AA'), SA = 4, SB = 10, SA' = 6. Calculer SB'.
SM = 3, SN = 9, SM' = 5, SN' = 15 (points dans cet ordre). Les droites (MM') et (NN') sont-elles parallèles ?
△ABC ∼ △DEF, AB = 5, DE = 8, Aire(ABC) = 25 cm². Calculer l'aire de △DEF.
Pourquoi deux triangles ayant deux angles égaux sont-ils semblables ?