Trigonométrie dans le triangle rectangle
Définitions sin · cos · tan · calculer une longueur ou un angle · valeurs remarquables 30° · 45° · 60° · sin²+cos²=1 · tan = sin/cos · applications pente et hauteur.
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Comprendre
La trigonométrie complète Pythagore
①Définitions de sin, cos et tan
Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu α, on nomme les trois côtés par rapport à cet angle de référence : l'hypoténuse (face à l'angle droit, le plus long), le côté opposé (face à α) et le côté adjacent (entre α et l'angle droit). Changer d'angle de référence change la désignation des côtés : c'est la principale source d'erreur.
Mémo incontournable : SOH-CAH-TOA. Sinus = Opposé/Hypoténuse · Cosinus = Adjacent/Hypoténuse · Tangente = Opposé/Adjacent.
L'angle de référence change tout
②Calculer une longueur, puis un angle
Pour une longueur, on identifie les deux côtés en jeu (le connu et l'inconnu), on choisit la formule qui contient ces deux côtés, puis on isole l'inconnu.
| Côté connu | Côté cherché | Formule |
|---|---|---|
| Hypoténuse | Opposé | opposé = hyp × sin α |
| Hypoténuse | Adjacent | adjacent = hyp × cos α |
| Adjacent | Opposé | opposé = adj × tan α |
| Opposé | Hypoténuse | hyp = opp / sin α |
| Adjacent | Hypoténuse | hyp = adj / cos α |
| Opposé | Adjacent | adjacent = opp / tan α |
Sur la calculatrice : touche 2nd ou SHIFT, puis sin, cos ou tan. Vérifier le mode DEG (degrés), pas RAD (radians). sin⁻¹ est la fonction réciproque, ce n'est pas 1/sin.
③Valeurs remarquables et relations fondamentales
| Angle α | sin α | cos α | tan α |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 1/2 | √3/2 | √3/3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | 1 | 0 | indéfini |
Exemple : si cos α = 3/5, alors sin²α = 1 − 9/25 = 16/25, donc sin α = 4/5 (positif car α est aigu).
④Applications : pente et hauteur inaccessible
Piège n°1 : confondre côté opposé et adjacent
On croit : Pour l'angle en A (rectangle en C), écrire sin α = AC/AB alors que AC est le côté adjacent.
En réalité : sin α = opposé/hyp = BC/AB ; le rapport AC/AB est le cosinus, pas le sinus.
Dessiner et annoter Hyp, Opp, Adj par rapport à l'angle de référence avant d'écrire la formule.
Piège n°2 : calculatrice en mode radians
On croit : « sin 30° donne −0,988 sur ma calculatrice. »
En réalité : C'est le mode RAD. En mode DEG, sin 30° = 0,5.
Vérifier que l'écran affiche « DEG » ou « D ». Un résultat aberrant (> 1 ou négatif pour un angle aigu) trahit le mode RAD.
Piège n°3 : écrire sin α = une longueur
On croit : « sin 50° = AC, donc AC ≈ 0,766 cm. »
En réalité : sin α est un rapport sans unité (entre 0 et 1 pour un angle aigu), pas une longueur. sin 50° = AC/hyp.
On écrit toujours sin α = rapport, jamais sin α = longueur.
Piège n°4 : confondre arcsin et 1/sin
On croit : « sin α = 0,6, donc α = 1/sin(0,6) ≈ 1,76. »
En réalité : α = arcsin(0,6) = sin⁻¹(0,6) ≈ 36,87°. La notation sin⁻¹ désigne la fonction réciproque, pas l'inverse 1/sin.
Pour un angle, utiliser la touche 2nd/SHIFT puis sin, cos ou tan.
La trigonométrie n'est pas au programme du primaire : sin, cos et tan apparaissent en 4e (cycle 4). Au cycle 3, les élèves rencontrent les angles, les mesurent au rapporteur, et travaillent sur les triangles et quadrilatères. En CM2, on peut aborder intuitivement la pente (« 10 % de pente » en contexte vélo ou ski) sans formaliser avec la tangente.
Ce qu'il faut maîtriser pour le CRPE : utiliser la calculatrice en mode degrés, choisir la bonne fonction (sin, cos, tan) selon les côtés en jeu, calculer un angle avec arcsin, arccos ou arctan, et connaître les valeurs remarquables par cœur pour des calculs exacts.
Le jury peut demander de résoudre un problème de pente ou de hauteur inaccessible en situation scolaire. C'est souvent l'occasion de relier la trigonométrie à Thalès et à la proportionnalité (l'ombre du mât, fiche N°22).
Méthode
Un algorithme de décision automatique
Triangle rectangle, hypoténuse 12 cm, un angle aigu 60°. Quel est le côté opposé à cet angle ?
Dans un triangle rectangle, le côté adjacent à α vaut 4 et l'hypoténuse 8. Que vaut α ?
Une route a une pente de 8 %. Quel est son angle d'inclinaison ?
α est aigu et cos α = 4/5. Que vaut sin α ?