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23Partie 4 : Espace et géométrie plane★★★ Tombe chaque annéeCycle 4 · BOEN 2020 · Thème D

Trigonométrie dans le triangle rectangle

Définitions sin · cos · tan · calculer une longueur ou un angle · valeurs remarquables 30° · 45° · 60° · sin²+cos²=1 · tan = sin/cos · applications pente et hauteur.

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Comprendre~5 min
Méthode~4 min

Comprendre

La trigonométrie complète Pythagore

Là où Pythagore calcule une longueur à partir de deux côtés, la trigonométrie calcule une longueur ou un angle à partir d'un côté et d'un angle. C'est l'outil des pentes, des hauteurs inaccessibles et de tous les problèmes où l'angle d'inclinaison est donné. La difficulté n'est pas le calcul : c'est de toujours rapporter sin, cos et tan à l'angle de référence, et de ne pas confondre côté adjacent et côté opposé selon l'angle choisi. Elle prolonge le théorème de Pythagore (fiche N°21), qui reste l'outil de vérification, et se relie aux pourcentages via la pente (fiche N°13).

①Définitions de sin, cos et tan

Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu α, on nomme les trois côtés par rapport à cet angle de référence : l'hypoténuse (face à l'angle droit, le plus long), le côté opposé (face à α) et le côté adjacent (entre α et l'angle droit). Changer d'angle de référence change la désignation des côtés : c'est la principale source d'erreur.

Les trois rapports trigonométriques

sin α = côté opposé / hypoténuse

cos α = côté adjacent / hypoténuse

tan α = côté opposé / côté adjacent

Mémo incontournable : SOH-CAH-TOA. Sinus = Opposé/Hypoténuse · Cosinus = Adjacent/Hypoténuse · Tangente = Opposé/Adjacent.

L'angle de référence change tout

Dans un triangle rectangle en C, si on prend l'angle en A puis l'angle en B, le côté opposé et le côté adjacent s'échangent. Toujours préciser l'angle de référence avant de nommer opposé et adjacent.

②Calculer une longueur, puis un angle

Pour une longueur, on identifie les deux côtés en jeu (le connu et l'inconnu), on choisit la formule qui contient ces deux côtés, puis on isole l'inconnu.

Côté connu	Côté cherché	Formule
Hypoténuse	Opposé	opposé = hyp × sin α
Hypoténuse	Adjacent	adjacent = hyp × cos α
Adjacent	Opposé	opposé = adj × tan α
Opposé	Hypoténuse	hyp = opp / sin α
Adjacent	Hypoténuse	hyp = adj / cos α
Opposé	Adjacent	adjacent = opp / tan α

Calculer un anglela fonction réciproque

Connaissant deux côtés, on calcule le rapport, puis :

α = arcsin(opp/hyp) = sin⁻¹(opp/hyp)

α = arccos(adj/hyp) = cos⁻¹(adj/hyp)

α = arctan(opp/adj) = tan⁻¹(opp/adj)

Sur la calculatrice : touche 2nd ou SHIFT, puis sin, cos ou tan. Vérifier le mode DEG (degrés), pas RAD (radians). sin⁻¹ est la fonction réciproque, ce n'est pas 1/sin.

③Valeurs remarquables et relations fondamentales

Angle α	sin α	cos α	tan α
0°	0	1	0
30°	1/2	√3/2	√3/3
45°	√2/2	√2/2	1
60°	√3/2	1/2	√3
90°	1	0	indéfini

Mémo : sin croît de 0 à 1 quand l'angle va de 0° à 90°, cos décroît de 1 à 0. Angles complémentaires : sin 30° = cos 60° = 1/2 et sin 60° = cos 30° = √3/2. Les triangles 45°-45°-90° (côtés 1, 1, √2) et 30°-60°-90° (côtés 1, √3, 2) permettent de retrouver ces valeurs.

Deux identités à connaître

sin²α + cos²α = 1 (conséquence de Pythagore : a² + b² = c² divisé par c²)

tan α = sin α / cos α (découle directement des définitions)

Exemple : si cos α = 3/5, alors sin²α = 1 − 9/25 = 16/25, donc sin α = 4/5 (positif car α est aigu).

④Applications : pente et hauteur inaccessible

Pente d'une route ou d'un toit

Montée h sur une distance horizontale d : tan α = h/d.

Pente 5 % → tan α = 0,05 → α ≈ 2,86°.

Pente 100 % → tan α = 1 → α = 45°.

Hauteur inaccessible (angle de visée)

À une distance d connue, angle de visée α du sommet.

h = d × tan α.

d = 30 m, α = 35° → h ≈ 21 m (au niveau des yeux).

Si on connaît l'hypoténuse c et un angle α, on obtient directement les deux côtés sans Pythagore : opposé = c × sin α et adjacent = c × cos α.

Le piège de la ficheTrès fréquent

Piège n°1 : confondre côté opposé et adjacent

On croit : Pour l'angle en A (rectangle en C), écrire sin α = AC/AB alors que AC est le côté adjacent.

En réalité : sin α = opposé/hyp = BC/AB ; le rapport AC/AB est le cosinus, pas le sinus.

Dessiner et annoter Hyp, Opp, Adj par rapport à l'angle de référence avant d'écrire la formule.

Le piège de la ficheTrès courant

Piège n°2 : calculatrice en mode radians

On croit : « sin 30° donne −0,988 sur ma calculatrice. »

En réalité : C'est le mode RAD. En mode DEG, sin 30° = 0,5.

Vérifier que l'écran affiche « DEG » ou « D ». Un résultat aberrant (> 1 ou négatif pour un angle aigu) trahit le mode RAD.

Le piège de la ficheConceptuel

Piège n°3 : écrire sin α = une longueur

On croit : « sin 50° = AC, donc AC ≈ 0,766 cm. »

En réalité : sin α est un rapport sans unité (entre 0 et 1 pour un angle aigu), pas une longueur. sin 50° = AC/hyp.

On écrit toujours sin α = rapport, jamais sin α = longueur.

Le piège de la ficheSubtile

Piège n°4 : confondre arcsin et 1/sin

On croit : « sin α = 0,6, donc α = 1/sin(0,6) ≈ 1,76. »

En réalité : α = arcsin(0,6) = sin⁻¹(0,6) ≈ 36,87°. La notation sin⁻¹ désigne la fonction réciproque, pas l'inverse 1/sin.

Pour un angle, utiliser la touche 2nd/SHIFT puis sin, cos ou tan.

Méthode

Un algorithme de décision automatique

Toujours dans cet ordre : 1) identifier l'angle de référence, 2) nommer les côtés (opposé, adjacent, hypoténuse) par rapport à cet angle, 3) choisir sin, cos ou tan, 4) isoler l'inconnu et calculer. Et un schéma à chaque fois.

①

MéthodeCalculer une longueur avec un angle connu

Question type : « Triangle ABC rectangle en C, AB = 10 cm, angle en A = 37°. Calculer AC et BC. »

Nommer les côtés par rapport à l'angle en A.

AB = hypoténuse · AC = adjacent à A · BC = opposé à A

Calculer AC (adjacent, hypoténuse connue) avec cos.

cos 37° = AC/AB → AC = 10 × cos 37° ≈ 7,99 cm

Calculer BC (opposé) avec sin, puis vérifier.

sin 37° = BC/AB → BC = 10 × sin 37° ≈ 6,02 cm

Vérif. : AC² + BC² ≈ 63,8 + 36,2 = 100 = AB² ✓

Checkpointà vous de jouer

30 secondes

Triangle rectangle, hypoténuse 12 cm, un angle aigu 60°. Quel est le côté opposé à cet angle ?

②

MéthodeCalculer un angle inconnu

Question type : « Triangle DEF rectangle en F, DE = 13, EF = 5. Calculer l'angle en D. »

Identifier les côtés par rapport à l'angle en D.

DE = hypoténuse · EF = opposé à D · DF = adjacent

Choisir la formule (opposé et hypoténuse → sin).

sin D = EF/DE = 5/13 ≈ 0,3846

Appliquer arcsin (mode DEG).

D = arcsin(5/13) ≈ 22,6°

arcsin (sin⁻¹) est la fonction réciproque, pas 1/sin. Calculatrice en mode degrés.

Checkpointà vous de jouer

30 secondes

Dans un triangle rectangle, le côté adjacent à α vaut 4 et l'hypoténuse 8. Que vaut α ?

③

MéthodeCalculer une hauteur inaccessible

Question type : « Un observateur est à 50 m d'un arbre et mesure l'angle de visée du sommet à 28°. Calculer la hauteur de l'arbre (au niveau des yeux). »

Schéma : repérer le triangle rectangle.

Base horizontale 50 m (adjacent) · hauteur h (opposé) · ligne de visée (hypoténuse)

Choisir tan (opposé et adjacent, sans hypoténuse).

tan 28° = h/50 → h = 50 × tan 28° ≈ 26,6 m

Ajouter la hauteur des yeux si l'énoncé le demande.

Hauteur totale ≈ 26,6 + 1,7 ≈ 28,3 m

Checkpointà vous de jouer

30 secondes

Une route a une pente de 8 %. Quel est son angle d'inclinaison ?

④

MéthodeUtiliser sin²+cos²=1 pour une valeur exacte

Question type : « α est aigu et sin α = 5/13. Calculer cos α et tan α sans calculatrice. »

Trouver cos α avec l'identité.

cos²α = 1 − 25/169 = 144/169 → cos α = 12/13 (positif, α aigu)

Calculer tan α.

tan α = sin α / cos α = (5/13)/(12/13) = 5/12

Reconnaître le triplet.

5/13, 12/13, 5/12 : ce sont les rapports du triangle 5-12-13.

Checkpointà vous de jouer

30 secondes

α est aigu et cos α = 4/5. Que vaut sin α ?

Méthode bien en tête ? Entraînez-vous.

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