Proportionnalité et pourcentages
Coefficient et quatrième proportionnelle · ratio · pourcentages et coefficient multiplicateur · valeur initiale · successions · échelle · vitesse · masse volumique · débit.
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Comprendre
La notion centrale des mathématiques appliquées
①Proportionnalité, ratio et quatrième proportionnelle
Deux grandeurs x et y sont proportionnelles s'il existe un nombre k (le coefficient de proportionnalité) tel que y = k × x, autrement dit k = y ÷ x est constant. Si un seul rapport diffère, ce n'est pas proportionnel.
Le test du rapport
Un ratio a : b exprime comment répartir une quantité en parts proportionnelles. Partager 30 bonbons selon le ratio 2 : 3, c'est faire 2 + 3 = 5 parts égales : une personne reçoit 2 parts (2/5), l'autre 3 parts (3/5).
Le ratio est une autre écriture d'une situation de proportionnalité : a : b équivaut au rapport a/b.
« Une voiture consomme 7 L pour 100 km. Combien pour 350 km ? » Trois chemins vers le même résultat.
Propriétés du tableau utiles pour aller vite : linéarité additive (additionner deux colonnes), linéarité multiplicative (multiplier une colonne par n), passage par l'unité (revenir à x = 1).
②Pourcentages et coefficient multiplicateur
Un pourcentage est une fraction de 100 : 30 % signifie 30/100 = 0,30. Calculer 30 % d'une valeur, c'est la multiplier par 0,30.
| Calcul | Méthode | Exemple |
|---|---|---|
| t % d'une valeur | multiplier par t ÷ 100 | 30 % de 200 € = 0,30 × 200 = 60 € |
| une partie en % d'un tout | partie ÷ tout × 100 | 18 sur 24 = 18 ÷ 24 × 100 = 75 % |
| taux de variation | (finale − initiale) ÷ initiale × 100 | 120 → 150 : 30 ÷ 120 × 100 = +25 % |
La base d'un taux est toujours la valeur initiale
Au lieu de calculer la hausse puis de l'ajouter, on multiplie en une fois. Augmenter 200 € de 20 % : 200 × (1 + 0,20) = 200 × 1,20 = 240 €. Ce 1,20 est le coefficient multiplicateur.
CM > 1 : augmentation. CM entre 0 et 1 : diminution. Retrouver le taux : (CM − 1) × 100.
③Valeur initiale et successions de pourcentages
Un article soldé à −30 % coûte 119 €. On sait que prix initial × 0,70 = 119, donc on fait l'opération inverse.
Erreur fréquente : ajouter 30 % à 119 (= 154,70 €). Les 30 % s'appliquaient sur 170 €, pas sur 119 €.
La 2e variation s'applique sur une base déjà modifiée : les taux ne s'additionnent pas.
| Successions | Calcul des CM | Résultat réel |
|---|---|---|
| +20 % puis −20 % | 1,20 × 0,80 = 0,96 | −4 % (une perte !) |
| +50 % puis −50 % | 1,50 × 0,50 = 0,75 | −25 % |
| +10 % puis +10 % | 1,10 × 1,10 = 1,21 | +21 % |
| −10 % puis −10 % | 0,90 × 0,90 = 0,81 | −19 % |
+20 % puis −20 % ne revient pas à 0 : après +20 % sur 100 €, on a 120 €, et −20 % de 120 € retire 24 € → 96 €. La hausse et la baisse ne jouent pas sur la même base.
④Applications : échelle, vitesse, masse volumique, débit
Le résultat de d_plan × dénominateur est en cm : convertir ensuite (÷100 → m, ÷1 000 → km).
| Échelle | 1 cm représente | Usage typique |
|---|---|---|
| 1/100 | 1 m | plan d'appartement |
| 1/1 000 | 10 m | plan cadastral |
| 1/25 000 | 250 m | carte IGN de randonnée |
| 1/50 000 | 500 m | carte routière régionale |
| 1/1 000 000 | 10 km | carte de France |
Même triangle de formules : grandeur = quantité ÷ temps (ou ÷ volume).
Heures décimales obligatoires
Piège n°1 : règle de trois sur une situation non proportionnelle
On croit : Carré de côté 3 cm (aire 9 cm²) : « côté ×2, donc aire ×2 = 18 cm² ».
En réalité : A = c² : côté ×2 → aire ×4. Aire du carré de côté 6 cm = 36 cm².
Tester le rapport avant d'appliquer la règle de trois : 9 ÷ 3 = 3 mais 36 ÷ 6 = 6, donc non proportionnel.
Piège n°2 : valeur initiale en ajoutant le pourcentage
On croit : Après −30 %, prix = 140 € : « initial = 140 + 30 % de 140 = 182 € ».
En réalité : CM = 0,70 → initial = 140 ÷ 0,70 = 200 € (vérification : 200 × 0,70 = 140).
Toujours diviser la valeur finale par le CM ; les % s'appliquaient sur la valeur initiale.
Piège n°3 : additionner des taux successifs
On croit : +10 % puis +10 % = +20 %.
En réalité : 1,10 × 1,10 = 1,21 → +21 % : la seconde hausse s'applique sur une base déjà augmentée.
Multiplier les coefficients multiplicateurs, jamais additionner les taux.
Piège n°4 : durée et échelle mal converties
On croit : 1h 45min = 1,45 h ; ou 4 cm au 1/50 000 = 200 000 km.
En réalité : 1h 45min = 1,75 h (45 ÷ 60) ; 4 × 50 000 = 200 000 cm = 2 km.
Minutes ÷ 60 pour les durées ; cm × dénominateur donne des cm, à convertir ensuite.
Au cycle 2, la proportionnalité se rencontre sans être nommée : prix d'achats multiples, partages équitables, recettes (manipulation avant formalisation).
Au cycle 3 (BO 2024), les tableaux de proportionnalité, le coefficient, la quatrième proportionnelle, l'échelle et la vitesse sont explicitement au programme, avec trois procédures : retour à l'unité, règle de trois, linéarité. Les pourcentages s'y limitent à « t % d'une quantité » et « exprimer une proportion » (le coefficient multiplicateur et les successions sont du cycle 4).
Erreur typique des élèves : appliquer la règle de trois à une situation non proportionnelle (« Paul a 12 ans et mesure 1,50 m, donc à 24 ans il mesurera 3 m ? »). À travailler explicitement. Lien à mentionner au jury : la proportionnalité est le fondement de la fonction linéaire f(x) = kx (fiche N°14).
Méthode
Trois réflexes pour tout traiter
Partager 35 € selon le ratio 3 : 4. Combien pour chacun ?
Un loyer de 800 € augmente de 6 %. Nouveau loyer ?
Après +20 %, un prix vaut 144 €. Quel était le prix initial ?
Un prix subit +20 % puis −20 %. Quel est le taux global ?
Carte au 1/25 000, 3,2 cm entre deux villages. Distance réelle ?