Périmètres, aires, volumes et conversions
Longueurs et périmètres · aires des figures usuelles · volumes des solides · conversions (×10, ×100, ×1 000) · effet d'un agrandissement (×k, ×k², ×k³).
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Comprendre
La fiche du concret
①Longueurs et périmètres
Le périmètre (P) est la longueur du contour d'une figure. Son unité est toujours une unité de longueur (cm, m), jamais cm² ou m². Pour le cercle, on parle de circonférence, mais c'est la même idée.
| Figure | Formule du périmètre | Exemple |
|---|---|---|
| Carré (côté a) | P = 4 × a | a = 5 cm → 20 cm |
| Rectangle (L, l) | P = 2 × (L + l) | L = 8, l = 3 → 22 cm |
| Triangle (a, b, c) | P = a + b + c | 3 + 4 + 5 = 12 cm |
| Cercle (rayon r) | C = 2πr = πd | r = 5 → 10π ≈ 31,4 cm |
Conversions de longueurs : ×10 entre unités consécutives
②Aires des figures usuelles
L'aire (A) mesure la surface intérieure. Son unité est toujours une unité au carré (cm², m²).
| Figure | Formule de l'aire | Exemple |
|---|---|---|
| Carré (côté a) | A = a² | a = 5 → 25 cm² |
| Rectangle (L, l) | A = L × l | 8 × 3 → 24 cm² |
| Triangle (base b, hauteur h) | A = ½ × b × h | b = 6, h = 4 → 12 cm² |
| Parallélogramme (b, h) | A = b × h | 7 × 4 → 28 cm² |
| Trapèze (bases B et b, hauteur h) | A = ½ × (B + b) × h | B = 8, b = 4, h = 3 → 18 cm² |
| Losange (diagonales d₁, d₂) | A = ½ × d₁ × d₂ | d₁ = 10, d₂ = 6 → 30 cm² |
| Disque (rayon r) | A = π × r² | r = 3 → 9π ≈ 28,3 cm² |
La hauteur est perpendiculaire à la base
L'aire est en 2D : si les côtés sont ×10, la surface est ×10² = ×100. Donc 1 m² = 10 000 cm² (et non 100), 1 ha = 10 000 m², 1 km² = 100 ha. Un carré de 1 m de côté contient 100 × 100 = 10 000 petits carrés de 1 cm².
③Volumes des solides
Le volume (V) mesure l'espace occupé. Son unité est toujours une unité au cube (cm³, m³, dm³).
| Solide | Formule du volume | Exemple |
|---|---|---|
| Cube (côté a) | V = a³ | a = 3 → 27 cm³ |
| Pavé droit (L, l, h) | V = L × l × h | 4 × 3 × 2 → 24 cm³ |
| Prisme droit (base A_b, hauteur h) | V = A_b × h | A_b = 12, h = 5 → 60 cm³ |
| Cylindre (rayon r, hauteur h) | V = π × r² × h | r = 3, h = 10 → 90π ≈ 283 cm³ |
| Pyramide ou cône (base A_b, h) | V = ⅓ × A_b × h | A_b = 16, h = 6 → 32 cm³ |
| Sphère (rayon r) | V = 4/3 × π × r³ | r = 3 → 36π ≈ 113 cm³ |
Le prisme et le cylindre, même logique
Le lien 1 cm³ = 1 mL est le pont entre volume géométrique et contenance.
④Effet d'un agrandissement ou d'une réduction de rapport k
Multiplier toutes les longueurs par k ne multiplie pas les aires et les volumes par k. C'est le résultat clé, et la source d'erreur numéro 1 au CRPE.
| Rapport k | Longueurs | Aires | Volumes |
|---|---|---|---|
| 2 | ×2 | ×4 (= 2²) | ×8 (= 2³) |
| 3 | ×3 | ×9 (= 3²) | ×27 (= 3³) |
| 1/2 | ÷2 | ÷4 | ÷8 |
| k | ×k | ×k² | ×k³ |
« Les côtés sont doublés, donc l'aire double » : FAUX
Piège n°1 : convertir une aire comme une longueur
On croit : 5 m² = 5 × 10 = 50 dm².
En réalité : 5 m² = 5 × 100 = 500 dm² (1 m = 10 dm, donc 1 m² = 10² = 100 dm²).
Aire : ×100 entre unités consécutives. Volume : ×1 000. Longueur : ×10.
Piège n°2 : confondre périmètre et aire
On croit : Périmètre d'un carré de côté 5 cm = 25 cm².
En réalité : Périmètre = 4 × 5 = 20 cm (en cm). Aire = 5² = 25 cm² (en cm²).
Périmètre : le tour, en cm. Aire : la surface, en cm². Vérifier toujours l'unité.
Piège n°3 : prendre un côté pour la hauteur
On croit : Triangle de côtés 5, 6, 7 cm : A = ½ × 6 × 7.
En réalité : h est la perpendiculaire abaissée sur la base, pas un côté (sauf angle droit).
Utiliser la hauteur donnée. Sans elle, l'énoncé la précise ou propose un autre chemin.
Piège n°4 : oublier π ou prendre π = 3
On croit : Aire d'un disque de rayon 4 cm = 4² = 16 cm².
En réalité : A = π × 4² = 16π ≈ 50,3 cm².
Toujours écrire π dans la formule : valeur exacte (16π) puis valeur approchée (≈ 50,3).
Au cycle 2, on compare des longueurs et on mesure à la règle, avec les unités usuelles (cm, m), sans formules.
Au cycle 3 (BO 2024), on construit les périmètres et aires des figures usuelles, les unités et conversions, et on introduit le volume avec des cubes. Les élèves construisent les formules par manipulation avant de les mémoriser.
Au cycle 4, on aborde les volumes des solides (prisme, cylindre, pyramide, cône, sphère) et l'effet des agrandissements.
Ce que le jury attend : savoir expliquer pourquoi l'aire d'un rectangle est L × l, en le pavant de carrés-unités (L colonnes de l carrés), pas seulement appliquer la formule. À l'école, le sens précède la mémorisation.
Méthode
Le réflexe général
Un rectangle 10 m × 7 m dont on retire un carré de 2 m de côté. Aire restante ?
Convertir 2,5 m² en cm², et 500 L en m³.
Un pavé de 20 cm × 10 cm × 5 cm contient combien de litres ?
Circonférence d'un cercle de rayon 7 cm (valeur exacte puis approchée) ?
On double les dimensions d'un cube. Son volume est multiplié par combien ?