Fonctions : notion, linéaires et affines
Image et antécédent · notations f(x) et x ↦ f(x) · tableau de valeurs · lecture graphique · fonction linéaire f(x) = ax · fonction affine f(x) = ax + b · intersection de droites.
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Comprendre
Une fonction, c'est une machine à transformer des nombres
Vous en manipulez déjà : « prix = 2 × le nombre de kg » est une fonction, « aire = côté² » aussi. Cette fiche apprend à les nommer, les écrire et les lire, puis se concentre sur les deux familles les plus testées au CRPE : les fonctions linéaires et affines, dont les courbes sont des droites.
①Qu'est-ce qu'une fonction ? Image et antécédent
Une fonction f associe à chaque valeur x (l'entrée) une valeur unique f(x) (la sortie). On écrit f : x ↦ f(x) (« f envoie x sur f(x) »). x est la variable (ou antécédent), f(x) est l'image de x. Ce qui fait une fonction : une seule image par antécédent.
Image et antécédent : deux opérations inverses
Toutes décrivent la même fonction. f(x) = … sert à définir la règle, x ↦ … insiste sur la transformation.
②Tableau de valeurs et lecture graphique
Pour f(x) = 2x − 1, on choisit des valeurs de x, on remplace, on note le résultat. Chaque paire (x ; f(x)) devient un point de la courbe.
| x | −2 | 0 | 1 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| f(x) = 2x − 1 | −5 | −1 | 1 | 5 |
Lire un graphique dans les deux sens
③La fonction linéaire f(x) = ax
Une fonction linéaire est de la forme f(x) = ax, où a est le coefficient directeur. Sa courbe est une droite qui passe obligatoirement par l'origine (0 ; 0). Elle correspond exactement à une situation de proportionnalité : a est le coefficient de proportionnalité.
Interprétation de a : quand x augmente de 1, f(x) augmente de a. a > 0 : droite montante ; a < 0 : droite descendante.
④La fonction affine f(x) = ax + b
Une fonction affine est de la forme f(x) = ax + b. a est le coefficient directeur (la pente, même rôle que pour la linéaire) et b est l'ordonnée à l'origine : la valeur de f quand x = 0, là où la droite coupe l'axe vertical.
| Linéaire f(x) = ax | Affine f(x) = ax + b | |
|---|---|---|
| f(0) | 0 toujours | b |
| Courbe | droite par (0 ; 0) | droite coupant l'axe y en (0 ; b) |
| Proportionnalité ? | oui (k = a) | non (sauf si b = 0) |
| Exemple | f(x) = 2x | g(x) = 2x + 3 |
Lire b : la valeur où la droite coupe l'axe vertical. Lire a : entre deux points, a = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁). Tracer : placer (0 ; b), puis avancer de 1 en x et monter de a en y. Intersection de deux droites f et g : résoudre f(x) = g(x), puis calculer y.
Si f et g sont deux tarifs, l'intersection donne la valeur de x où les deux coûts sont égaux. Résoudre f(x) = g(x) relève des équations (fiche N°9).
Piège n°1 : confondre image et antécédent
On croit : « L'antécédent de 3 par f » : on calcule f(3).
En réalité : L'image de 3 = f(3). L'antécédent de 3 = la solution de f(x) = 3.
Image : on entre x, on calcule. Antécédent : on cherche ce qui donne la sortie voulue.
Piège n°2 : confondre a et b dans f(x) = ax + b
On croit : Dans f(x) = 3x + 5 : a = 5 et b = 3.
En réalité : a = 3 (coefficient de x, la pente), b = 5 (terme constant, ordonnée à l'origine).
a est toujours devant le x ; b est le terme seul, sans x.
Piège n°3 : croire que f(x) = 2x + 3 est proportionnel
On croit : « La droite monte régulièrement, donc c'est une proportionnalité. »
En réalité : f(0) = 3 ≠ 0 : la droite ne passe pas par l'origine, ce n'est pas proportionnel.
Proportionnalité ⟺ fonction linéaire ⟺ droite passant par l'origine (b = 0).
Piège n°4 : calculer a = y₂ ÷ x₂
On croit : Points (2 ; 5) et (4 ; 9) : a = 9 ÷ 4 = 2,25.
En réalité : a = (9 − 5) ÷ (4 − 2) = 4 ÷ 2 = 2 : a mesure une variation, un rapport d'écarts.
Toujours a = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁), jamais une seule coordonnée.
Au cycle 3, les élèves travaillent des tableaux de valeurs et des graphiques sans le mot « fonction » : ils raisonnent sur « le prix dépend du nombre d'articles », la notion de fonction en acte. Les fonctions linéaires apparaissent sous la forme de tableaux de proportionnalité, sans vocabulaire algébrique : la droite passant par l'origine est le graphique d'une situation proportionnelle.
Au cycle 4, la notion est formalisée (notations f(x), images, antécédents, graphiques), et les fonctions affines arrivent en 3e (identifier a et b, tracer, interpréter, comparer des tarifs par intersection).
Ce que le jury attend : faire le lien entre proportionnalité (fiche N°13) et fonction linéaire f(x) = ax, et savoir expliquer pourquoi une fonction affine avec b ≠ 0 ne modélise plus une proportionnalité. C'est une distinction conceptuelle clé pour vos futurs élèves.
Méthode
Le réflexe général
Soit f(x) = 3x − 5. Calculer f(2), puis trouver l'antécédent de 7.
La fonction k(x) = x/2 est-elle linéaire ou affine ? Donner a et b.
Pour f(x) = 2x − 3, donner le point d'ordonnée à l'origine et un second point.
Une droite passe par (0 ; −1) et (2 ; 5). Quelle est son expression ?
Trouver l'intersection de f(x) = x + 2 et g(x) = 3x − 4.