Repérage et coordonnées dans le plan
Repère orthonormé · coordonnées d'un point · distance entre deux points · milieu d'un segment · équation d'une droite y = ax + b · lecture graphique.
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Comprendre
Le langage commun de la géométrie et des fonctions
①Le repère orthonormé et les coordonnées
Un repère orthonormé est défini par une origine O, un axe horizontal (axe des abscisses, x) et un axe vertical (axe des ordonnées, y), perpendiculaires, avec la même unité sur les deux axes. Un point se note M(x ; y) : abscisse d'abord, ordonnée ensuite.
Notation française et ordre des coordonnées
②Distance entre deux points et milieu
La distance est le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle formé par A, B et leur projection. Le milieu est la moyenne des coordonnées.
Exemple : A(1 ; 2) et B(4 ; 6). AB = √[(4 − 1)² + (6 − 2)²] = √[9 + 16] = √25 = 5. Milieu : ((1 + 4) ÷ 2 ; (2 + 6) ÷ 2) = (2,5 ; 4).
Triplets pythagoriciens
③Équation d'une droite dans le repère
Toute droite non verticale a une équation y = ax + b, où a est le coefficient directeur (pente) et b l'ordonnée à l'origine (y quand x = 0).
| Élément | Définition | Exemple y = 2x − 3 |
|---|---|---|
| Coefficient directeur a | a = (yB − yA) ÷ (xB − xA) | a = 2 (monte de 2 quand x augmente de 1) |
| Ordonnée à l'origine b | y quand x = 0 | b = −3 (coupe l'axe y en −3) |
| Droites parallèles | même coefficient a | y = 2x + 5 // y = 2x − 3 |
| Droites perpendiculaires | a₁ × a₂ = −1 | y = 2x et y = −½x |
| Droite verticale | x = c (pas de y = ax + b) | x = 4, pente infinie |
Droites horizontales et verticales
④Lire et interpréter un graphique
Le graphique sert souvent de support à un problème. Il faut savoir lire des coordonnées, déterminer l'équation d'une droite tracée, et vérifier l'appartenance d'un point.
Méthode en 2 étapes : lire deux points à coordonnées entières (par exemple A(0 ; 2) et B(3 ; 8)), puis calculer a = (8 − 2) ÷ (3 − 0) = 2 et lire b = 2 (ordonnée en x = 0). Équation : y = 2x + 2. Vérifier avec les deux points.
Pour lire un antécédent : « pour quelle valeur de x a-t-on y = 5 ? », tracer la ligne y = 5 et lire l'abscisse du point d'intersection avec la courbe.
Piège n°1 : inverser abscisse et ordonnée
On croit : Placer A(3 ; −2) à 3 cases en haut et 2 à droite.
En réalité : Abscisse 3 (horizontal), ordonnée −2 (vertical) : 3 cases à droite, 2 cases vers le bas.
M(x ; y) = M(horizontal ; vertical). x = axe des x = horizontal.
Piège n°2 : oublier les carrés dans la distance
On croit : AB = √[(4 − 1) + (6 − 2)] = √7.
En réalité : AB = √[(4 − 1)² + (6 − 2)²] = √[9 + 16] = √25 = 5.
C'est Pythagore : élever au carré chaque écart AVANT d'additionner.
Piège n°3 : confondre a et b dans y = ax + b
On croit : Par A(0 ; 4) et B(2 ; 8) : a = 4, b = (8 − 4) ÷ 2 = 2.
En réalité : a = (8 − 4) ÷ (2 − 0) = 2 (pente), b = 4 (ordonnée en x = 0). Donc y = 2x + 4.
a se calcule (Δy/Δx) ; b se lit en x = 0.
Piège n°4 : erreur de signe avec des coordonnées négatives
On croit : A(−3 ; 2), B(1 ; −4) : xB − xA = 1 − 3 = −2.
En réalité : xB − xA = 1 − (−3) = 1 + 3 = 4 ; yB − yA = −4 − 2 = −6.
Quand une coordonnée est négative, l'écrire entre parenthèses : 1 − (−3) = 1 + 3.
Au cycle 3, les élèves découvrent le repérage sur quadrillage et sur droite graduée : ils placent des points, lisent des coordonnées et représentent des données dans un tableau. C'est la base pour lire les graphiques de toutes les disciplines.
Au cycle 4, le repère orthonormé est formalisé (coordonnées négatives, distance entre deux points, équations de droites). Le jury attend qu'on relie « repérage » et « fonctions » : une droite dans un repère est la représentation graphique d'une fonction affine.
Ce que le jury valorise : savoir que le repérage est une compétence transversale, et que les élèves confondent souvent abscisse et ordonnée. D'où l'importance d'ancrer tôt la convention x = horizontal, y = vertical.
Méthode
Quatre protocoles pour les situations fréquentes
A(2 ; 5) et B(6 ; 2). Calculer AB et le milieu.
Équation de la droite passant par A(0 ; 3) et B(2 ; 7) ?
Le point B(2 ; 4) appartient-il à la droite y = 2x + 1 ?
Où la droite y = 2x − 6 coupe-t-elle l'axe des x ?