Droites, angles, parallélisme
Types d'angles · complémentaires et supplémentaires · somme des angles d'un triangle et d'un polygone · alternes-internes et correspondants · médiatrice · bissectrice.
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Comprendre
La base de toute démonstration géométrique
①Types d'angles, complémentaires et supplémentaires
| Type d'angle | Mesure |
|---|---|
| Aigu | entre 0° et 90° |
| Droit | 90° (perpendiculaire) |
| Obtus | entre 90° et 180° |
| Plat | 180° (demi-tour) |
| Rentrant | supérieur à 180° |
Repères à retenir
②Somme des angles d'un triangle et d'un polygone
Pour tout triangle, la somme des trois angles vaut 180°. Conséquence : si on connaît deux angles, le troisième vaut 180° − (somme des deux). Exemple : 40° + 75° + ? = 180° donne ? = 65°.
| Polygone | n | Somme des angles | Angle si régulier |
|---|---|---|---|
| Triangle | 3 | 180° | 60° |
| Quadrilatère | 4 | 360° | 90° |
| Pentagone | 5 | 540° | 108° |
| Hexagone | 6 | 720° | 120° |
| Octogone | 8 | 1 080° | 135° |
Pourquoi (n − 2) ? On découpe le polygone en (n − 2) triangles depuis un sommet, et chaque triangle apporte 180°. L'angle d'un polygone régulier vaut la somme divisée par n.
Convexe ou concave
③Droites coupées par une sécante
Quand une sécante coupe deux droites, elle forme des paires d'angles. Si les deux droites sont parallèles, ces paires ont des propriétés remarquables.
| Paire d'angles | Position | Si droites parallèles |
|---|---|---|
| Alternes-internes | de part et d'autre de la sécante, entre les droites | égaux (angles en Z) |
| Correspondants | du même côté, un entre, un dehors | égaux (angles en F) |
| Co-internes | du même côté, entre les droites | supplémentaires (180°) |
| Opposés par le sommet | à une même intersection | égaux (toujours, même sans parallèles) |
Les réciproques sont au programme
④Médiatrice et bissectrice
Médiatrice n'est pas médiane
Piège n°1 : confondre alternes-internes et correspondants
On croit : Désigner deux angles du même côté de la sécante comme alternes-internes.
En réalité : Alternes-internes : de part et d'autre de la sécante (en Z). Correspondants : du même côté (en F).
Les deux sont égaux si les droites sont parallèles, mais leur position diffère.
Piège n°2 : appliquer 180° au quadrilatère
On croit : Quadrilatère d'angles 80°, 95°, 110° : 4e angle = 180° − 80° − 95° − 110° = −105°.
En réalité : Somme d'un quadrilatère = (4 − 2) × 180° = 360°. 4e angle = 360° − 285° = 75°.
Toujours calculer la somme attendue (n − 2) × 180° avant de soustraire.
Piège n°3 : angles opposés par le sommet pris supplémentaires
On croit : Un angle vaut 70°, son opposé par le sommet vaut 180° − 70° = 110°.
En réalité : Les angles opposés par le sommet sont égaux : l'opposé de 70° vaut 70°. Ce sont les adjacents qui valent 110°.
Autour d'une intersection : deux paires d'angles égaux, somme totale 360°.
Piège n°4 : confondre médiatrice et hauteur
On croit : Tracer une perpendiculaire à [AB], mais pas en son milieu, et l'appeler médiatrice.
En réalité : La médiatrice est perpendiculaire à [AB] ET passe par son milieu : les deux conditions.
La construction au compas (arcs depuis A et B) donne automatiquement les deux.
Méthode
Quatre protocoles pour les situations fréquentes
Un quadrilatère a trois angles de 85°, 110° et 95°. Quel est le quatrième ?
Deux droites parallèles, un angle mesuré vaut 70°. Que vaut son alterne-interne ?
Deux droites se coupent, un angle vaut 110°. Que valent les trois autres ?
Un point P vérifie PA = PB. Sur quelle droite se trouve-t-il forcément ?