Droites, angles, parallélisme
Types d'angles · complémentaires et supplémentaires · somme des angles d'un triangle et d'un polygone · alternes-internes et correspondants · médiatrice · bissectrice.
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Comprendre
La base de toute démonstration géométrique
①Types d'angles, complémentaires et supplémentaires
| Type d'angle | Mesure |
|---|---|
| Aigu | entre 0° et 90° |
| Droit | 90° (perpendiculaire) |
| Obtus | entre 90° et 180° |
| Plat | 180° (demi-tour) |
| Rentrant | supérieur à 180° |
Repères à retenir
②Somme des angles d'un triangle et d'un polygone
Pour tout triangle, la somme des trois angles vaut 180°. Conséquence : si on connaît deux angles, le troisième vaut 180° − (somme des deux). Exemple : 40° + 75° + ? = 180° donne ? = 65°.
| Polygone | n | Somme des angles | Angle si régulier |
|---|---|---|---|
| Triangle | 3 | 180° | 60° |
| Quadrilatère | 4 | 360° | 90° |
| Pentagone | 5 | 540° | 108° |
| Hexagone | 6 | 720° | 120° |
| Octogone | 8 | 1 080° | 135° |
Pourquoi (n − 2) ? On découpe le polygone en (n − 2) triangles depuis un sommet, et chaque triangle apporte 180°. L'angle d'un polygone régulier vaut la somme divisée par n.
Convexe ou concave
③Droites coupées par une sécante
Quand une sécante coupe deux droites, elle forme des paires d'angles. Si les deux droites sont parallèles, ces paires ont des propriétés remarquables.
| Paire d'angles | Position | Si droites parallèles |
|---|---|---|
| Alternes-internes | de part et d'autre de la sécante, entre les droites | égaux (angles en Z) |
| Correspondants | du même côté, un entre, un dehors | égaux (angles en F) |
| Co-internes | du même côté, entre les droites | supplémentaires (180°) |
| Opposés par le sommet | à une même intersection | égaux (toujours, même sans parallèles) |
Les réciproques sont au programme
④Médiatrice et bissectrice
Médiatrice n'est pas médiane
Piège n°1 : confondre alternes-internes et correspondants
On croit : Désigner deux angles du même côté de la sécante comme alternes-internes.
En réalité : Alternes-internes : de part et d'autre de la sécante (en Z). Correspondants : du même côté (en F).
Les deux sont égaux si les droites sont parallèles, mais leur position diffère.
Piège n°2 : appliquer 180° au quadrilatère
On croit : Quadrilatère d'angles 80°, 95°, 110° : 4e angle = 180° − 80° − 95° − 110° = −105°.
En réalité : Somme d'un quadrilatère = (4 − 2) × 180° = 360°. 4e angle = 360° − 285° = 75°.
Toujours calculer la somme attendue (n − 2) × 180° avant de soustraire.
Piège n°3 : angles opposés par le sommet pris supplémentaires
On croit : Un angle vaut 70°, son opposé par le sommet vaut 180° − 70° = 110°.
En réalité : Les angles opposés par le sommet sont égaux : l'opposé de 70° vaut 70°. Ce sont les adjacents qui valent 110°.
Autour d'une intersection : deux paires d'angles égaux, somme totale 360°.
Piège n°4 : confondre médiatrice et hauteur
On croit : Tracer une perpendiculaire à [AB], mais pas en son milieu, et l'appeler médiatrice.
En réalité : La médiatrice est perpendiculaire à [AB] ET passe par son milieu : les deux conditions.
La construction au compas (arcs depuis A et B) donne automatiquement les deux.
Au cycle 2, les élèves reconnaissent et reproduisent l'angle droit avec l'équerre, et distinguent perpendiculaires et parallèles dans leur environnement.
Au cycle 3, ils mesurent et construisent des angles au rapporteur, reconnaissent aigu/droit/obtus, et découvrent que la somme des angles d'un triangle vaut 180°, souvent par pliage : on déchire les trois angles et on les aligne pour former un angle plat.
Ce que le jury valorise : savoir que les angles alternes-internes sont un résultat du cycle 4 à ne pas confondre avec les correspondants, et savoir expliquer la somme 180° par le pliage plutôt que par une démonstration formelle à l'école.
Méthode
Quatre protocoles pour les situations fréquentes
Un quadrilatère a trois angles de 85°, 110° et 95°. Quel est le quatrième ?
Deux droites parallèles, un angle mesuré vaut 70°. Que vaut son alterne-interne ?
Deux droites se coupent, un angle vaut 110°. Que valent les trois autres ?
Un point P vérifie PA = PB. Sur quelle droite se trouve-t-il forcément ?