Cercle et configurations remarquables
Vocabulaire du cercle · tangente · médiatrice et cercle · cercle inscrit et circonscrit · angle inscrit et angle au centre · longueur d'arc et aire de secteur.
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Comprendre
Le cercle apparaît toujours en configuration
①Vocabulaire du cercle
Un cercle de centre O et de rayon r est l'ensemble des points situés à distance r de O. Le disque est la surface délimitée par le cercle. Distinction essentielle : on calcule le périmètre du cercle (2πr) et l'aire du disque (πr²).
| Terme | Définition | À retenir |
|---|---|---|
| Rayon r | du centre à un point du cercle | tous les rayons sont égaux |
| Diamètre | corde passant par le centre | longueur 2r, le plus long segment |
| Corde | segment reliant deux points du cercle | le diamètre en est une |
| Arc | portion de cercle entre deux points | arc mineur ou majeur |
| Secteur | portion de disque entre deux rayons | une « part de pizza » |
Quelle fraction de tour ? (n ÷ 360) du total.
②Tangente et médiatrice d'une corde
Une tangente touche le cercle en un seul point T (point de tangence). Propriété fondamentale : la tangente est perpendiculaire au rayon OT en T. Réciproque : une droite perpendiculaire au rayon en un point du cercle est tangente.
Conséquence : pour prouver qu'une droite est tangente, montrer qu'elle est perpendiculaire au rayon au point de contact. Exemple : OT = 5 (rayon), A sur la tangente avec AT = 12 ; le triangle OTA est rectangle en T, donc OA² = 25 + 144 = 169, OA = 13.
Un point M est sur la médiatrice de [AB] si et seulement si MA = MB (équidistance). De plus, la médiatrice d'une corde passe par le centre du cercle. Application clé : pour trouver le centre d'un cercle passant par trois points A, B, C, on trace les médiatrices de [AB] et [BC] ; leur intersection est le centre.
③Cercle inscrit et cercle circonscrit
| Cercle | Centre | Rayon | Lien au triangle |
|---|---|---|---|
| Circonscrit | intersection des médiatrices | distance aux sommets | passe par les 3 sommets |
| Inscrit | intersection des bissectrices | distance aux côtés | tangent aux 3 côtés |
Mémo
Si un triangle est rectangle, le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse, et le rayon vaut la moitié de l'hypoténuse. C'est directement relié à l'angle inscrit dans un demi-cercle (section ④).
④Angle inscrit et angle au centre
Deux points A et B sont fixés sur un cercle de centre O. Pour un point M du cercle, l'angle inscrit est l'angle en M, l'angle au centre est l'angle en O ; les deux interceptent le même arc AB.
Si [AB] est un diamètre, tout point M du cercle (distinct de A, B) donne un angle AMB droit.
Vérifier la position de M
Piège n°1 : confondre rayon et diamètre dans les formules
On croit : Diamètre 10 cm : périmètre = 2π × 10 = 20π.
En réalité : r = 10 ÷ 2 = 5. Périmètre = 2π × 5 = 10π ≈ 31,4 cm.
2πr et πr² utilisent toujours le rayon : si on donne le diamètre, diviser par 2.
Piège n°2 : appliquer l'angle inscrit sans vérifier l'arc
On croit : Angle au centre 80°, M sur l'arc mineur : angle inscrit = 80 ÷ 2 = 40°.
En réalité : Sur l'arc mineur, l'angle vaut 180° − 40° = 140°.
Repérer sur quel arc se trouve M avant d'appliquer le théorème (faire un schéma).
Piège n°3 : confondre cercle inscrit et circonscrit
On croit : Tracer les médiatrices pour le centre du cercle inscrit.
En réalité : Inscrit → bissectrices (tangent aux côtés). Circonscrit → médiatrices (passe par les sommets).
Mémo : inscrIT → bIssectrIces ; cIrconscrIt → médIatrIces.
Piège n°4 : tangente perpendiculaire à une corde
On croit : « La tangente en T est perpendiculaire à la corde [TA]. »
En réalité : La tangente est perpendiculaire au rayon OT, pas à une corde quelconque passant par T.
Tangente ⊥ rayon, uniquement. Ne pas confondre rayon et corde.
Au cycle 2, les élèves tracent des cercles au compas et apprennent centre, rayon, diamètre ; ils comprennent que tous les rayons sont égaux, raison pour laquelle le compas trace un cercle.
Au cycle 3, ils calculent périmètre et aire du disque, construisent des cercles passant par des points donnés et découvrent la médiatrice. Les configurations (tangente, inscrit/circonscrit, angle inscrit) relèvent du cycle 4 : non attendues à l'école, mais le socle qu'il faut maîtriser pour enseigner avec recul.
Ce que le jury valorise : savoir pourquoi la construction au compas du cercle passant par trois points fonctionne (équidistance, donc médiatrices), pour enseigner avec profondeur et non par mimétisme.
Méthode
Reconnaître la configuration d'abord
Cercle de rayon 5, tangente en T, A sur la tangente avec AT = 12. Calculer OA.
Angle au centre AOB = 80°, M sur l'arc majeur. Que vaut l'angle inscrit AMB ?
Quel est le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle en A, d'hypoténuse [BC] ?
Aire du secteur de 90° dans un disque de rayon 6 cm ?