Théorème de Pythagore
Énoncé et démonstration par les aires · réciproque · contraposée · calculer une longueur · triplets pythagoriciens · applications dans les solides.
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Comprendre
Le théorème le plus utilisé de la géométrie
①Énoncé et démonstration par les aires
L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit (le plus long). Avec c = hypoténuse : c² = a² + b².
On construit un grand carré de côté (a + b) de deux façons, et on égalise les aires.
②Réciproque et contraposée
Les trois versions à distinguer
③Calculer une longueur et reconnaître un triplet
Ne jamais oublier de prendre la racine carrée à la fin. Une longueur est positive : pas de ± devant la racine.
| Triplet de base | Multiples courants | Vérification |
|---|---|---|
| (3, 4, 5) | (6, 8, 10) · (9, 12, 15) | 9 + 16 = 25 |
| (5, 12, 13) | (10, 24, 26) | 25 + 144 = 169 |
| (8, 15, 17) | (16, 30, 34) | 64 + 225 = 289 |
| (7, 24, 25) | (14, 48, 50) | 49 + 576 = 625 |
④Applications dans les solides
Pythagore s'applique en 3D en identifiant un triangle rectangle caché dans une coupe.
Diagonale du pavé en deux étapes
Piège n°1 : oublier de prendre la racine carrée
On croit : a = 3, b = 4 : c = 3² + 4² = 25.
En réalité : c² = 25, donc c = √25 = 5. La racine est l'étape finale obligatoire.
Pythagore donne le CARRÉ de la longueur : penser à conclure par la racine.
Piège n°2 : confondre hypoténuse et côté de l'angle droit
On croit : Chercher un côté de l'angle droit avec c² = a² + b².
En réalité : Pour un côté de l'angle droit : b² = c² − a² (on soustrait, on ne somme pas).
Repérer d'abord l'hypoténuse (le plus grand côté, opposé à l'angle droit).
Piège n°3 : confondre réciproque et contraposée
On croit : Conclure « rectangle » à partir de c² ≠ a² + b².
En réalité : c² = a² + b² → rectangle (réciproque) ; c² ≠ a² + b² → pas rectangle (contraposée).
Comparer le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres, puis choisir la version.
Piège n°4 : appliquer Pythagore sans angle droit
On croit : Utiliser c² = a² + b² dans un triangle quelconque.
En réalité : Le théorème direct n'est valable que si le triangle est rectangle (à vérifier ou justifier).
Citer l'angle droit : « par le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en A ».
Pythagore est introduit en 4e (cycle 4), pas à l'école primaire. En CM, les élèves calculent périmètres et aires et construisent des figures, sans le théorème. Des élèves curieux peuvent croiser le triplet (3, 4, 5) dans des problèmes de construction.
Ce qu'il faut maîtriser pour le CRPE : énoncer les trois formes (directe, réciproque, contraposée), distinguer ce qu'on cherche à prouver, calculer une longueur, résoudre en 3D en deux étapes. Le jury valorise la rédaction : « par le théorème de Pythagore appliqué au triangle ABC rectangle en A », pas un calcul nu.
C'est aussi l'un des rares contextes où la racine carrée intervient naturellement à l'école : l'occasion de revoir √(a²) = a pour a ≥ 0 (fiche N°4).
Méthode
La moitié des points se gagne à la rédaction
Triangle rectangle en A, AB = 6, AC = 8. Calculer BC.
Triangle rectangle en A, hypoténuse BC = 13, AB = 5. Calculer AC.
Le triangle de côtés 5, 7, 9 est-il rectangle ?
Quelle est la grande diagonale d'un cube d'arête a ?