Théorème de Pythagore
Énoncé et démonstration par les aires · réciproque · contraposée · calculer une longueur · triplets pythagoriciens · applications dans les solides.
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Comprendre
Le théorème le plus utilisé de la géométrie
①Énoncé et démonstration par les aires
L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit (le plus long). Avec c = hypoténuse : c² = a² + b².
On construit un grand carré de côté (a + b) de deux façons, et on égalise les aires.
②Réciproque et contraposée
Les trois versions à distinguer
③Calculer une longueur et reconnaître un triplet
Ne jamais oublier de prendre la racine carrée à la fin. Une longueur est positive : pas de ± devant la racine.
| Triplet de base | Multiples courants | Vérification |
|---|---|---|
| (3, 4, 5) | (6, 8, 10) · (9, 12, 15) | 9 + 16 = 25 |
| (5, 12, 13) | (10, 24, 26) | 25 + 144 = 169 |
| (8, 15, 17) | (16, 30, 34) | 64 + 225 = 289 |
| (7, 24, 25) | (14, 48, 50) | 49 + 576 = 625 |
④Applications dans les solides
Pythagore s'applique en 3D en identifiant un triangle rectangle caché dans une coupe.
Diagonale du pavé en deux étapes
Piège n°1 : oublier de prendre la racine carrée
On croit : a = 3, b = 4 : c = 3² + 4² = 25.
En réalité : c² = 25, donc c = √25 = 5. La racine est l'étape finale obligatoire.
Pythagore donne le CARRÉ de la longueur : penser à conclure par la racine.
Piège n°2 : confondre hypoténuse et côté de l'angle droit
On croit : Chercher un côté de l'angle droit avec c² = a² + b².
En réalité : Pour un côté de l'angle droit : b² = c² − a² (on soustrait, on ne somme pas).
Repérer d'abord l'hypoténuse (le plus grand côté, opposé à l'angle droit).
Piège n°3 : confondre réciproque et contraposée
On croit : Conclure « rectangle » à partir de c² ≠ a² + b².
En réalité : c² = a² + b² → rectangle (réciproque) ; c² ≠ a² + b² → pas rectangle (contraposée).
Comparer le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres, puis choisir la version.
Piège n°4 : appliquer Pythagore sans angle droit
On croit : Utiliser c² = a² + b² dans un triangle quelconque.
En réalité : Le théorème direct n'est valable que si le triangle est rectangle (à vérifier ou justifier).
Citer l'angle droit : « par le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en A ».
Méthode
La moitié des points se gagne à la rédaction
Triangle rectangle en A, AB = 6, AC = 8. Calculer BC.
Triangle rectangle en A, hypoténuse BC = 13, AB = 5. Calculer AC.
Le triangle de côtés 5, 7, 9 est-il rectangle ?
Quelle est la grande diagonale d'un cube d'arête a ?