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26Partie 5 : Géométrie dans l'espace★★ FréquentCycle 4 · BOEN 2020 · Thème D

Sections, repérage dans l'espace et sur la sphère

Section par un plan · sections des solides usuels · repère orthonormé de l'espace · Pythagore dans l'espace · repérage sur la sphère (latitude, longitude).

Sur cette page

Comprendre

Visualiser dans l'espace

La section d'un solide est souvent donnée dans un contexte concret (coupe d'une boîte, d'un bâtiment, d'un fruit). La difficulté est de visualiser la section et d'en identifier la forme. Pythagore dans l'espace complète naturellement la fiche, et le repérage sur la sphère fait le pont avec la géographie. Les calculs de volumes sont traités dans la fiche N°15 ; le repère du plan et le théorème de Pythagore, dans les fiche N°17 et fiche N°21.

①Qu'est-ce qu'une section ?

Définition et méthode
La section d'un solide par un plan est l'intersection du solide avec ce plan :
la figure plane obtenue en « coupant » le solide.
Le plan coupe chaque face selon une droite ; la section est le polygone
formé par toutes ces droites d'intersection.

Règle des parallèles : si le plan de section est parallèle à une face, la section est une figure de même forme que cette face.

Méthode pratique

Repérer les points où le plan coupe chaque arête du solide, puis les relier dans l'ordre : c'est la section.

②Sections des solides usuels

Cube
Plan parallèle à une face : carré.
Plan coupant 2 arêtes parallèles : rectangle.
Plan coupant 3 faces : triangle (jusqu'à équilatéral).
Plan coupant 6 faces : hexagone.
Prisme droit
Plan parallèle aux bases : figure isométrique à la base.
Plan oblique : polygone à autant de côtés que d'arêtes traversées.
Pyramide
Plan parallèle à la base : figure semblable à la base (réduite).
Plan passant par le sommet : triangle.
Cylindre et cône
Cylindre : disque (plan ⊥ axe), rectangle (plan contenant l'axe), ellipse (oblique).
Cône : disque, triangle isocèle (plan axial), ellipse (oblique).
Pour une pyramide, la section parallèle à la base est semblable, pas isométrique. Si le plan coupe les arêtes au rapport k depuis le sommet : côtés ×k, aire ×k². À mi-hauteur, k = 1/2 (côtés divisés par 2, aire divisée par 4).

③Repère et Pythagore dans l'espace

Coordonnées, distance et milieu
Un point M est repéré par M(x ; y ; z) dans un repère orthonormé (3 axes perpendiculaires).
Distance : AB = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²)
Milieu : M = ((x₁+x₂)/2 ; (y₁+y₂)/2 ; (z₁+z₂)/2)

Extension directe des formules du plan, avec une troisième coordonnée z (la hauteur).

Pythagore dans l'espacela méthode en deux étapes
Diagonale d'un pavé L × l × h :
Étape 1 : d_base² = L² + l²
Étape 2 : d² = d_base² + h², soit d = √(L² + l² + h²)
Cube d'arête a : d = a√3 (diagonale d'une face : a√2).

Hauteur d'une pyramide régulière : le pied de la hauteur est le centre de la base. h = √(arête latérale² − distance centre-sommet²).

④Repérage sur la sphère (M2)

Au programme M2 uniquement

Le repérage sur la sphère terrestre figure au programme du cycle 4 version 2020 (référence M2). Il a été retiré de la version 2025 : à ne pas reprendre pour la dérivation L3.
Latitude et longitude
Tout point de la sphère terrestre est repéré par deux angles : (latitude ; longitude).
Latitude : de 0° (équateur) à 90° Nord ou Sud (les pôles).
Longitude : de 0° (méridien de Greenwich) à 180° Est ou Ouest.

Méridiens : demi-grands cercles reliant les deux pôles (longitude constante). Parallèles : cercles perpendiculaires à l'axe des pôles (latitude constante).

L'équateur est le seul parallèle qui soit un grand cercle (de même rayon que la sphère). Les autres parallèles sont des cercles plus petits. C'est une section de la sphère par un plan perpendiculaire à l'axe des pôles.
Le piège de la ficheFréquent

Piège n°1 : oublier la troisième coordonnée

On croit : Distance entre A(1;2;3) et B(4;6;3) : √((4−1)² + (6−2)²) = 5.

En réalité : Le résultat est juste ici (car z identiques), mais la formule doit comporter les 3 termes : √(9 + 16 + 0) = 5.

Toujours écrire les trois carrés dans la distance 3D, même si l'un est nul.

Le piège de la ficheClassique

Piège n°2 : la diagonale du pavé en une seule étape

On croit : Diagonale d'un pavé 3 × 4 × 12 : √(3² + 12²) = √153 ≈ 12,37 cm.

En réalité : Le côté de 4 cm a été oublié : d = √(3² + 4² + 12²) = √169 = 13 cm.

Diagonale d'un pavé : d = √(L² + l² + h²), les trois dimensions.

Le piège de la ficheConceptuel

Piège n°3 : section de pyramide isométrique à la base

On croit : Pyramide à base carrée de côté 6 cm coupée à mi-hauteur : section = carré de 6 cm.

En réalité : La section est semblable, pas isométrique : à mi-hauteur (k = 1/2), côté = 3 cm.

Section d'une pyramide parallèle à la base : côtés ×k, où k est la fraction de hauteur depuis le sommet.

Le piège de la ficheFréquent

Piège n°4 : confondre diagonale de face et grande diagonale

On croit : Grande diagonale d'un cube d'arête 5 : √(5² + 5²) = 5√2 ≈ 7,07 cm.

En réalité : 5√2 est la diagonale d'une face. La grande diagonale est √(5² + 5² + 5²) = 5√3 ≈ 8,66 cm.

Diagonale d'une face : a√2. Grande diagonale du cube : a√3. Deux résultats différents.

Ce que ça donne à l'écolele regard du futur enseignant

Au cycle 3 (CM1-6e), les élèves réalisent des coupes de solides concrets (fruits, fromages, boîtes) et observent les formes obtenues. La section d'un cube est étudiée vers la 6e-5e, le repère de l'espace en 4e.

Le repérage sur la sphère relie naturellement les mathématiques et la géographie (latitude, longitude, méridiens, parallèles, fuseaux horaires) : une situation interdisciplinaire classique.

Pour le CRPE : savoir décrire et construire une section dans les cas usuels, calculer une diagonale ou une hauteur par Pythagore en deux étapes, et utiliser les coordonnées 3D pour une distance ou un milieu.

Méthode

Identifier le type de section, calculer en deux étapes

Pour une section : repérer si le plan est parallèle, perpendiculaire ou oblique. Pour Pythagore dans l'espace : toujours deux étapes (d'abord dans un plan, puis dans l'espace).
①
MéthodeIdentifier la section d'un solide
Question type : « Quelle est la forme de la section d'un cylindre par un plan parallèle à sa base ? »
1
Repérer la position du plan (parallèle, perpendiculaire, oblique).
Plan parallèle à la base d'un cylindre
2
Appliquer la règle correspondante.
Plan // base d'un cylindre → disque de même rayon
Checkpointà vous de jouer
30 secondes

Quelle est la section d'une pyramide à base carrée par un plan parallèle à la base, à mi-hauteur ?

②
MéthodeDiagonale d'un pavé (Pythagore en deux étapes)
Question type : « Un pavé droit mesure 3 × 4 × 12 cm. Calculer la grande diagonale. »
1
Étape 1 : diagonale de la base.
d_base² = 3² + 4² = 25 → d_base = 5 (triplet 3-4-5)
2
Étape 2 : grande diagonale.
d² = 25 + 12² = 169 → d = 13 (triplet 5-12-13)
3
Formule directe équivalente.
d = √(L² + l² + h²) = √(9 + 16 + 144) = 13
Checkpointà vous de jouer
30 secondes

Grande diagonale d'un cube d'arête 5 cm (forme exacte) ?

③
MéthodeDistance et milieu dans l'espace
Question type : « A(1 ; 2 ; 3) et B(5 ; 0 ; 7). Calculer AB et le milieu de [AB]. »
1
Distance AB.
AB = √((5−1)² + (0−2)² + (7−3)²) = √(16 + 4 + 16) = √36 = 6
2
Milieu de [AB].
M = ((1+5)/2 ; (2+0)/2 ; (3+7)/2) = (3 ; 1 ; 5)
Checkpointà vous de jouer
30 secondes

Distance entre A(2 ; 0 ; 1) et B(5 ; 4 ; 1) ?

Méthode bien en tête ? Entraînez-vous.
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