Solides, représentation et patrons
Prismes · pyramides · cylindres · cônes · sphères · formule d'Euler · perspective cavalière · vues · patrons.
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Comprendre
Le passage du 2D au 3D
①Les 5 familles de solides
②Sommets, arêtes, faces et formule d'Euler
La formule d'Euler vaut pour tout polyèdre convexe (prismes, pyramides). Elle ne s'applique pas aux cylindres, cônes et sphères, qui ont des faces courbes.
| Solide | S | F | A | Vérification |
|---|---|---|---|---|
| Tétraèdre | 4 | 4 | 6 | 4 + 4 = 6 + 2 ✓ |
| Cube | 8 | 6 | 12 | 8 + 6 = 12 + 2 ✓ |
| Prisme triangulaire | 6 | 5 | 9 | 6 + 5 = 9 + 2 ✓ |
| Pyramide à base carrée | 5 | 5 | 8 | 5 + 5 = 8 + 2 ✓ |
③Représentations : perspective cavalière et vues
| Vue | Direction | Ce qu'on voit |
|---|---|---|
| De face | depuis l'avant | la face avant projetée |
| De dessus | depuis le haut | le contour vu d'en haut |
| De côté | depuis la droite | le profil latéral |
④Patrons : le solide déplié
Un patron est le développement plan d'un solide : toutes ses faces dépliées dans un même plan, de sorte qu'en repliant on retrouve le solide.
Piège n°1 : confondre aire latérale et aire totale
On croit : Aire totale d'un cube de côté 5 cm : 5 × 5 = 25 cm².
En réalité : 25 cm² est l'aire d'une seule face. Le cube en a 6 : aire totale = 6 × 5² = 150 cm².
Aire totale = aire latérale + aires des bases (2 bases pour un prisme, 1 pour une pyramide).
Piège n°2 : appliquer Euler aux cylindres et cônes
On croit : Vérifier S + F = A + 2 pour un cylindre.
En réalité : La formule d'Euler ne vaut que pour les polyèdres (faces planes). Cylindre, cône et sphère sont exclus.
Euler : prismes et pyramides uniquement, jamais pour les solides à faces courbes.
Piège n°3 : confondre hauteur du prisme et côté de la base
On croit : Face latérale d'un prisme de hauteur 8 : 8 × 8 = 64 cm².
En réalité : Chaque face latérale est un rectangle de largeur = côté de la base et de hauteur = hauteur du prisme.
Aire latérale d'un prisme = périmètre de la base × hauteur du prisme.
Piège n°4 : croire qu'un solide n'a qu'un seul patron
On croit : Entre deux patrons différents, l'un est forcément faux.
En réalité : Un solide peut avoir plusieurs patrons valides : un cube en admet 11.
La question est « est-ce UN patron valide », pas « est-ce LE patron ».
Au cycle 2 (CP-CE2), les élèves manipulent des solides concrets (cubes, boîtes), les décrivent et les trient selon leurs propriétés visibles (faces planes ou courbes). Le vocabulaire face, arête, sommet est introduit progressivement.
Au cycle 3 (CM1-6e), les élèves construisent des patrons, reproduisent des solides et calculent des aires de patrons. La formule d'Euler est étudiée en 6e. Les vues en plan (dessus, face, côté) sont travaillées en lien avec la lecture de plans de bâtiments.
Pour le CRPE : savoir passer du solide au patron et inversement, calculer une aire latérale ou totale, et vérifier qu'un patron donné correspond bien à un solide (via Euler ou le comptage des faces).
Méthode
Identifier, déplier, vérifier
Un patron comporte 1 carré et 4 triangles. De quel solide s'agit-il ?
Aire latérale d'un prisme à base carrée de côté 4 cm et de hauteur 10 cm ?
Un polyèdre a 10 sommets et 7 faces. Combien d'arêtes ?