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25Partie 5 : Géométrie dans l'espace★★★ Tombe chaque annéeCycle 4 · BOEN 2020 · Thème D

Solides, représentation et patrons

Prismes · pyramides · cylindres · cônes · sphères · formule d'Euler · perspective cavalière · vues · patrons.

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Comprendre~5 min
Méthode~2 min

Comprendre

Le passage du 2D au 3D

Les solides sont présents dans presque tous les sujets : reconnaître un solide à partir de son patron, calculer une aire, identifier des vues. La difficulté n'est pas le calcul, c'est le passage du plan à l'espace : visualiser un solide depuis son patron, comprendre ce qu'est une vue, et ne pas confondre aire latérale et aire totale. Les calculs de volumes sont traités dans la fiche N°15, et le théorème de Pythagore (fiche N°21) intervient pour les génératrices et les hauteurs.

①Les 5 familles de solides

Prisme droit

Deux bases parallèles et égales (polygones), reliées par des faces rectangulaires.

Cas particuliers : pavé droit (base rectangle), cube (base carrée = hauteur).

Pyramide

Une base polygonale et un sommet S relié à chaque sommet de la base.

Cas particuliers : tétraèdre (base triangle), pyramide régulière (sommet au-dessus du centre).

Cylindre de révolution

Deux bases circulaires et une surface latérale (un rectangle déroulé).

Cône de révolution

Une base circulaire et un sommet.

Génératrice l = √(r² + h²).

La sphère est l'ensemble des points situés à une distance r du centre O : ni face, ni arête, ni sommet. Cylindre, cône et sphère ont des faces courbes : ce ne sont pas des polyèdres.

②Sommets, arêtes, faces et formule d'Euler

Formules de comptage et relation d'Euler

Prisme à base n-gone : S = 2n · A = 3n · F = n + 2

Pyramide à base n-gone : S = n + 1 · A = 2n · F = n + 1

Formule d'Euler (polyèdres) : S + F = A + 2

La formule d'Euler vaut pour tout polyèdre convexe (prismes, pyramides). Elle ne s'applique pas aux cylindres, cônes et sphères, qui ont des faces courbes.

Solide	S	F	A	Vérification
Tétraèdre	4	4	6	4 + 4 = 6 + 2 ✓
Cube	8	6	12	8 + 6 = 12 + 2 ✓
Prisme triangulaire	6	5	9	6 + 5 = 9 + 2 ✓
Pyramide à base carrée	5	5	8	5 + 5 = 8 + 2 ✓

Euler est utile pour vérifier qu'un patron est correct ou pour trouver un élément manquant : si l'on connaît deux des trois nombres, on déduit le troisième.

③Représentations : perspective cavalière et vues

Les règles de la perspective cavalière

1. Faces de face : dessinées en vraie grandeur (non déformées).

2. Arêtes de fuite : en oblique (souvent 45°), longueur réduite de moitié.

3. Arêtes cachées : en pointillés.

4. Arêtes parallèles : restent parallèles dans le dessin.

Vue	Direction	Ce qu'on voit
De face	depuis l'avant	la face avant projetée
De dessus	depuis le haut	le contour vu d'en haut
De côté	depuis la droite	le profil latéral

Exemples : le cube donne trois carrés identiques. Le cylindre : face = rectangle, dessus = cercle, côté = rectangle. La pyramide à base carrée : face = triangle, dessus = carré, côté = triangle.

④Patrons : le solide déplié

Un patron est le développement plan d'un solide : toutes ses faces dépliées dans un même plan, de sorte qu'en repliant on retrouve le solide.

Prisme droit

2 bases (polygones identiques) + n rectangles latéraux.

Aire latérale = périmètre de base × hauteur.

Pyramide

1 base + n triangles (un par arête de base).

Régulière : les n triangles sont isocèles et identiques.

Cylindre

2 disques (rayon r) + 1 rectangle.

Rectangle : largeur 2πr, hauteur h.

Cône

1 disque (rayon r) + 1 secteur angulaire.

Secteur : rayon l = génératrice, arc 2πr.

Un même solide peut avoir plusieurs patrons valides (un cube en a 11). Pour vérifier un patron : chaque face est présente une seule fois, les dimensions sont cohérentes, et les faces qui se touchent dans le solide partagent une arête dans le patron.

Le piège de la ficheTrès fréquent

Piège n°1 : confondre aire latérale et aire totale

On croit : Aire totale d'un cube de côté 5 cm : 5 × 5 = 25 cm².

En réalité : 25 cm² est l'aire d'une seule face. Le cube en a 6 : aire totale = 6 × 5² = 150 cm².

Aire totale = aire latérale + aires des bases (2 bases pour un prisme, 1 pour une pyramide).

Le piège de la ficheFréquent

Piège n°2 : appliquer Euler aux cylindres et cônes

On croit : Vérifier S + F = A + 2 pour un cylindre.

En réalité : La formule d'Euler ne vaut que pour les polyèdres (faces planes). Cylindre, cône et sphère sont exclus.

Euler : prismes et pyramides uniquement, jamais pour les solides à faces courbes.

Le piège de la ficheClassique

Piège n°3 : confondre hauteur du prisme et côté de la base

On croit : Face latérale d'un prisme de hauteur 8 : 8 × 8 = 64 cm².

En réalité : Chaque face latérale est un rectangle de largeur = côté de la base et de hauteur = hauteur du prisme.

Aire latérale d'un prisme = périmètre de la base × hauteur du prisme.

Le piège de la ficheConceptuel

Piège n°4 : croire qu'un solide n'a qu'un seul patron

On croit : Entre deux patrons différents, l'un est forcément faux.

En réalité : Un solide peut avoir plusieurs patrons valides : un cube en admet 11.

La question est « est-ce UN patron valide », pas « est-ce LE patron ».

Méthode

Identifier, déplier, vérifier

Toujours commencer par identifier la famille du solide. Puis lire ou construire son patron, et vérifier avec Euler ou le comptage des faces. Distinguer aire latérale et aire totale.

①

MéthodeIdentifier un solide à partir de son patron

Question type : « Ce patron est-il celui d'un prisme triangulaire ? »

Compter et identifier les faces.

Prisme triangulaire : 5 faces (2 triangles + 3 rectangles)

Vérifier la compatibilité des dimensions.

Les rectangles ont la même hauteur h ; leurs largeurs = côtés du triangle

Vérifier avec Euler.

S = 6, F = 5, A = 9 → 6 + 5 = 9 + 2 = 11 ✓

Checkpointà vous de jouer

30 secondes

Un patron comporte 1 carré et 4 triangles. De quel solide s'agit-il ?

②

MéthodeCalculer l'aire totale d'un prisme droit

Question type : « Prisme droit à base triangulaire équilatérale de côté 6 cm, hauteur 10 cm. Aire totale ? »

Aire des deux bases.

Triangle équilatéral : aire = 9√3 cm² → 2 bases = 18√3 ≈ 31,18 cm²

Aire latérale = périmètre de base × hauteur.

(3 × 6) × 10 = 180 cm²

Aire totale = latérale + 2 bases.

180 + 18√3 ≈ 211,18 cm²

Checkpointà vous de jouer

30 secondes

Aire latérale d'un prisme à base carrée de côté 4 cm et de hauteur 10 cm ?

③

MéthodeTrouver le nombre d'arêtes d'un solide

Question type : « Une pyramide a une base pentagonale. Combien de sommets, d'arêtes et de faces ? »

Appliquer les formules (pyramide, n = 5).

S = n + 1 = 6 · F = n + 1 = 6 · A = 2n = 10

Vérifier avec Euler.

6 + 6 = 10 + 2 = 12 ✓

Checkpointà vous de jouer

30 secondes

Un polyèdre a 10 sommets et 7 faces. Combien d'arêtes ?

Méthode bien en tête ? Entraînez-vous.

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