Puissances, racines et réels
Puissances entières positives et négatives · règles de calcul · racines carrées · √2 irrationnel · ensemble ℝ · encadrements décimaux.
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Comprendre
Avant de commencer
①L'ensemble ℝ : rationnels et irrationnels
ℝ = ℚ ∪ (irrationnels) : tout réel est soit rationnel (fraction, décimal fini ou périodique), soit irrationnel (développement décimal infini et non périodique).
②Racines carrées : définition, propriétés, simplification
La racine carrée répond à une question simple : quel nombre, multiplié par lui-même, donne a ? Si l'aire d'un carré est 9 cm², son côté mesure √9 = 3 cm. Si l'aire est 2 cm², le côté mesure √2 cm, une longueur bien réelle mais impossible à écrire exactement avec notre numération.
Définition
| Règle | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Produit | √(a×b) = √a × √b | √12 = √(4×3) = 2√3 |
| Quotient | √(a/b) = √a / √b | √(9/4) = 3/2 |
| Carré d'une racine | (√a)² = a | (√5)² = 5 |
| Addition | √(a+b) ≠ √a + √b | √(9+16) = 5 ≠ 3+4 |
③Carrés parfaits : à connaître absolument
Un carré parfait est un entier qui est le carré d'un autre entier : sa racine tombe juste. Les reconnaître permet de simplifier les racines immédiatement (48 = 16 × 3 → √48 = 4√3).
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| n² | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 |
④√2 est irrationnel
√2 ne peut s'écrire ni sous forme de fraction, ni avec un développement décimal fini ou périodique. Sa valeur approchée est 1,41421356…, mais ces décimales ne s'arrêtent jamais et ne se répètent jamais. Ce n'est pas un défaut de la calculatrice : c'est la nature du nombre.
Toutes les racines ne sont pas irrationnelles
Savoir que √2 ∈ ℝ et √2 ∉ ℚ, et l'expliquer simplement : « √2 est irrationnel, on ne peut pas l'écrire exactement sous forme de fraction ni de décimale, la calculatrice en donne une valeur approchée. » Concrètement : quand un élève calcule la diagonale d'un carré de côté 1 cm avec Pythagore, il obtient √2 cm ; il faut pouvoir lui expliquer que 1,414… est une approximation et que la valeur exacte s'écrit √2.
⑤Puissances : définition et 5 règles
Pour tout réel a et tout entier n ≥ 1 : aⁿ = a × a × … × a (n fois). Avec les conventions a⁰ = 1 (pour a ≠ 0) et a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
| Règle | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Produit, même base | aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 10³ × 10⁴ = 10⁷ |
| Quotient, même base | aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 2⁵ ÷ 2² = 2³ = 8 |
| Puissance de puissance | (aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ | (3²)⁴ = 3⁸ |
| Produit, même exposant | aⁿ × bⁿ = (a×b)ⁿ | 3² × 5² = 15² |
| Exposant nul ou négatif | a⁰ = 1 · a⁻ⁿ = 1/aⁿ | 5⁰ = 1 · 2⁻³ = 1/8 |
Trois pièges classiques
⑥Encadrer un irrationnel
On ne peut pas écrire √2 exactement, mais on peut le situer entre deux décimaux aussi proches qu'on veut : c'est un encadrement, qui se prouve toujours par le calcul des carrés.
Valeur approchée par défaut : 1,41 ; par excès : 1,42 ; arrondi à 0,01 : 1,41.
Piège n°1 : distribuer une puissance sur une addition
On croit : (3 + 4)² = 3² + 4² = 25.
En réalité : (3 + 4)² = 7² = 49. On développe : (a + b)² = a² + 2ab + b².
Les puissances se distribuent sur la multiplication, jamais sur l'addition.
Piège n°2 : additionner les racines
On croit : √9 + √16 = √(9+16) = √25 = 5.
En réalité : √9 + √16 = 3 + 4 = 7. La racine d'une somme n'est pas la somme des racines.
√(a+b) ≠ √a + √b, mais √(a×b) = √a × √b.
Piège n°3 : confondre √(a²) et (√a)²
On croit : √((−3)²) = −3.
En réalité : √((−3)²) = √9 = 3. La racine carrée donne toujours un résultat positif : √(a²) = |a|.
Par définition, √ désigne la racine positive : √4 = 2 uniquement.
Piège n°4 : croire que aᵐ × bⁿ = (ab)ᵐ⁺ⁿ
On croit : 2³ × 3² = 6⁵.
En réalité : 2³ × 3² = 8 × 9 = 72. On ne regroupe que si les exposants sont identiques : 2³ × 5³ = 10³.
Bases différentes et exposants différents : on calcule séparément.
Piège n°5 : un encadrement sans vérification
On croit : « √3 ≈ 1,7 à 0,1 près » sans calcul.
En réalité : Vérifier : 1,7² = 2,89 < 3 et 1,8² = 3,24 > 3 → 1,7 < √3 < 1,8.
Un encadrement se prouve : les deux calculs de carré doivent figurer dans la copie.
Les puissances et les racines ne sont pas au programme du primaire, mais leur logique est partout.
Puissances de 10 (cycles 2-3) : quand un élève comprend que 1 centaine = 100 unités, il manipule 10² = 100. La forme développée 4 000 + 300 + 20 + 5 = 4×10³ + 3×10² + 2×10 + 5 est une décomposition en puissances de 10.
Le carré en géométrie (cycle 3) : l'aire d'un carré de côté 5 cm est 5² = 25 cm².
Pourquoi √2 pour un futur PE : √2 apparaît dès qu'on calcule la diagonale d'un carré (Pythagore). Savoir qu'il est irrationnel permet d'expliquer pourquoi la calculatrice n'en donne qu'une approximation. C'est le recul que le jury valorise.
Méthode
Trois savoir-faire exigibles au concours
Simplifier (3⁵ × 3²) / 3⁴.
Pour le trouver : factoriser. 72 = 2³ × 3² → on regroupe par paires : (2×3)² × 2 = 36 × 2.
Simplifier √50.
Entre quels entiers consécutifs se trouve √20 ?