Équations, inéquations, systèmes
Équation du 1er degré · mise en équation · équation-produit · systèmes à 2 inconnues · inéquations · intervalles · valeur absolue.
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Comprendre
Pourquoi résoudre des équations ?
Voilà l'essence d'une équation : traduire une situation par une expression, puis trouver la valeur inconnue qui la vérifie. Dans la fiche N°8, les lettres étaient des variables (on généralisait) ; ici ce sont des inconnues, une valeur précise à trouver. Cette fiche couvre les équations du 1er degré, les systèmes, les inéquations, et deux notions du programme de Seconde (intervalles et valeur absolue).
①L'équation du 1er degré : trouver l'inconnue
Une équation du 1er degré est une égalité du type ax + b = c, où x est l'inconnue. « 1er degré » signifie que l'inconnue n'est jamais élevée à une puissance supérieure à 1 (pas de x², pas de x³). Résoudre, c'est isoler x à l'aide de deux opérations qui conservent l'égalité.
Vérification : 2 × (−8) + 5 = −11 et (−8) − 3 = −11 ✓
Réflexe vérification
②Mise en équation et équation-produit
C'est souvent la partie la plus valorisée au CRPE : l'équation n'est pas donnée, il faut la construire à partir d'un énoncé en français. Problème fil rouge : « Une classe a 35 élèves, 5 garçons de plus que de filles. Combien de filles ? »
| Étape | Sur le fil rouge |
|---|---|
| ① Nommer l'inconnue (et son unité) | Soit x le nombre de filles. |
| ② Exprimer les autres quantités avec x | Garçons = x + 5. |
| ③ Traduire la contrainte en égalité | x + (x + 5) = 35, soit 2x + 5 = 35. |
| ④ Résoudre, vérifier, conclure en français | x = 15 : 15 filles et 20 garçons. |
Ce que le jury pénalise : écrire « 2x + 5 = 35 » sans avoir dit ce que représente x. Sans la phrase de l'étape ①, la résolution est juste mais pédagogiquement incomplète.
Cette règle ne fonctionne QUE si le membre de droite est 0. Si A × B = 6, on ne peut pas écrire A = 2 et B = 3.
On utilise souvent la factorisation (fiche N°8) pour obtenir une forme produit = 0. Exemple : x² − 9 = 0 → x² − 3² = 0 → (x + 3)(x − 3) = 0 → x = −3 ou x = 3.
③Les systèmes de 2 équations à 2 inconnues
Quand un problème a deux inconnues et deux contraintes, une seule équation ne suffit plus : il faut un système. Deux méthodes, selon la situation.
Vérifier dans les deux équations
④Inéquations, intervalles et valeur absolue
Une inéquation remplace le signe = par <, >, ≤ ou ≥. La solution n'est plus une valeur unique mais un ensemble, souvent un intervalle. On isole l'inconnue comme pour une équation, avec une règle cruciale.
La règle qui change tout
Programme de Seconde
| Notation | Signifie | Bornes |
|---|---|---|
| [a ; b] | a ≤ x ≤ b | a et b incluses |
| ]a ; b[ | a < x < b | a et b exclues |
| [a ; b[ | a ≤ x < b | a incluse, b exclue |
| [a ; +∞[ | x ≥ a | +∞ toujours exclu |
| ]−∞ ; b] | x ≤ b | −∞ toujours exclu |
Règle : ≤ ou ≥ donne un crochet fermé ([ ou ]), < ou > un crochet ouvert (] ou [). ±∞ est toujours exclu (crochet ouvert), car l'infini n'est pas un nombre.
Exemple : |x − 3| ≤ 2 ⟺ −2 ≤ x − 3 ≤ 2 ⟺ 1 ≤ x ≤ 5, soit x ∈ [1 ; 5].
Piège n°1 : ne pas inverser l'inégalité
On croit : −2x > 6 → x > −3 (sens conservé).
En réalité : −2x > 6 → x < −3 : diviser par −2 (négatif) inverse le sens.
Diviser ou multiplier par un négatif = retourner la flèche de l'inégalité.
Piège n°2 : produit nul sans membre = 0
On croit : (x − 2)(x + 3) = 6 → x − 2 = 6 ou x + 3 = 6.
En réalité : La règle A × B = 0 exige un membre de droite nul. Ici, développer, réduire, puis ramener à = 0.
Vérifier d'abord : le membre de droite est-il 0 ? Sinon, développer avant de factoriser.
Piège n°3 : oublier la cohérence avec le contexte
On croit : Trouver x = −4 pour un nombre d'élèves et conclure sans rien signaler.
En réalité : Un nombre d'élèves est un entier positif. x = −4 est solution de l'équation mais n'a pas de sens : il faut le signaler.
Relire toujours la valeur trouvée à la lumière du contexte (positif ? entier ? dans les bornes ?).
Piège n°4 : crochet ouvert sur une borne incluse
On croit : x ≥ 3 → ]3 ; +∞[ (le 3 est exclu à tort).
En réalité : x ≥ 3 → [3 ; +∞[ : le crochet fermé indique que 3 est inclus.
≤ ou ≥ → crochet fermé ; < ou > → crochet ouvert. L'infini garde toujours un crochet ouvert.
Aux cycles 2 et 3, les élèves résolvent des problèmes par essais-ajustements ou par « remontée » (« si 2 crayons coûtent 6 €, 1 crayon coûte 3 € »). C'est une approche arithmétique, sans lettre, que les programmes du cycle 3 développent en demandant de formuler et résoudre des problèmes : cela prépare implicitement la mise en équation.
Savoir modéliser un problème par une équation est exactement la compétence que le jury évalue. Écrire « soit x la quantité cherchée, alors… » avant de résoudre montre qu'on comprend la démarche, pas seulement qu'on manipule des symboles. Les situations de recherche proposées en primaire (partages, prix, mesures) sont les mêmes que celles modélisées par des équations au collège : comprendre cette continuité permet d'enseigner avec cohérence.
Méthode
Lire la consigne avant tout
Résoudre 5x − 4 = 2x + 11.
Un ruban de 90 cm est coupé en deux, le premier morceau fait le double du second. Mettre en équation et résoudre.
Résoudre x² − 16 = 0.
Résoudre −4x + 3 > 11 et donner la solution en intervalle.