Suites numériques
Suite arithmétique (raison d, terme général, somme) · suite géométrique (raison q, terme général, somme) · reconnaître le type · modélisation · représentation graphique.
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Comprendre
Programme de Seconde
Pourquoi les suites ?
Autre situation : 1 000 € placés à 3 % par an. Chaque année, le capital est multiplié par 1,03 ; après n années, 1 000 × 1,03ⁿ. C'est une suite géométrique : on multiplie toujours par le même nombre.
Les suites modélisent les phénomènes répétitifs (épargne, croissance, population). Au CRPE, elles arrivent presque toujours sous forme de problèmes : l'enjeu est de reconnaître le type et d'appliquer les bonnes formules.
①La notion de suite : une liste ordonnée de nombres
Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres, notés u₀, u₁, u₂, u₃… (ou à partir de u₁). Chaque nombre est un terme, et son numéro est le rang (ou indice).
②La suite arithmétique : on ajoute toujours le même nombre
Une suite est arithmétique quand on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre, la raison, notée d. Exemples : économiser 50 € par mois, remplir un réservoir à débit constant.
Exemple : épargne de 50 €/mois, départ à 200 € (u₁ = 200, d = 50). Terme général : uₙ = 200 + (n − 1) × 50 = 150 + 50n. Après 24 mois : u₂₄ = 150 + 50 × 24 = 1 350 €. Somme des 24 versements : S₂₄ = 24 × (200 + 1 350) ÷ 2 = 18 600 €.
③La suite géométrique : on multiplie toujours par le même nombre
Une suite est géométrique quand on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre, la raison, notée q. Exemples : intérêts composés, croissance de population, décroissance radioactive.
Exemple : capital de 1 000 € à 3 % par an (u₁ = 1 000, q = 1,03). Terme général : uₙ = 1 000 × 1,03^(n − 1). Après 10 ans : u₁₀ = 1 000 × 1,03⁹ ≈ 1 305 €.
④Reconnaître le type : la question clé avant tout calcul
| Critère | Arithmétique | Géométrique |
|---|---|---|
| Passage au terme suivant | on ajoute d | on multiplie par q |
| Test | uₙ₊₁ − uₙ constante | uₙ₊₁ ÷ uₙ constant |
| Terme général | u₁ + (n − 1) × d | u₁ × q^(n − 1) |
| Graphique | points alignés | points sur une courbe |
| Situations | épargne constante, paliers fixes | intérêts composés, taux annuel |
Tester sur au moins 3 termes
Piège n°1 : confondre raison arithmétique (d) et géométrique (q)
On croit : Suite 3, 6, 12, 24 : « arithmétique, d = 3 ».
En réalité : 6 ÷ 3 = 2, 12 ÷ 6 = 2, 24 ÷ 12 = 2 : rapport constant, donc géométrique, q = 2.
Toujours tester les deux : la différence ET le rapport. Si l'un est constant, le type est déterminé.
Piège n°2 : erreur d'indice dans le terme général
On croit : Pour une suite arithmétique, u₅ = u₁ + 5 × d.
En réalité : u₅ = u₁ + (5 − 1) × d = u₁ + 4 × d : on ajoute d exactement (n − 1) fois.
De u₁ à u₅, il y a 4 sauts (pas 5). De u₁ à uₙ, il y a (n − 1) sauts.
Piège n°3 : somme géométrique quand q = 1
On croit : Appliquer u₁ × (1 − qⁿ) ÷ (1 − q) avec q = 1 (division par zéro).
En réalité : Si q = 1, tous les termes valent u₁, donc Sₙ = n × u₁.
Vérifier que q ≠ 1 avant d'utiliser la formule de somme géométrique.
Piège n°4 : confondre taux et raison géométrique
On croit : « Le capital augmente de 3 % par an, donc q = 0,03. »
En réalité : Augmenter de 3 %, c'est multiplier par 1 + 0,03 = 1,03. La raison est q = 1,03.
Taux de +t % → q = 1 + t/100 ; taux de −t % → q = 1 − t/100.
Méthode
Trois éléments suffisent à tout calculer
Quelle est la nature de la suite 10, 7, 4, 1… ? Donner la raison.
Suite arithmétique u₁ = 10, d = 5. Calculer u₇.
Un capital augmente de 4 % par an. Quelle est la raison q de la suite ?
Calculer la somme des 5 premiers termes de la suite arithmétique 3, 7, 11, 15, 19.