Suites numériques
Suite arithmétique (raison d, terme général, somme) · suite géométrique (raison q, terme général, somme) · reconnaître le type · modélisation · représentation graphique.
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Comprendre
Programme de Seconde
Pourquoi les suites ?
Autre situation : 1 000 € placés à 3 % par an. Chaque année, le capital est multiplié par 1,03 ; après n années, 1 000 × 1,03ⁿ. C'est une suite géométrique : on multiplie toujours par le même nombre.
Les suites modélisent les phénomènes répétitifs (épargne, croissance, population). Au CRPE, elles arrivent presque toujours sous forme de problèmes : l'enjeu est de reconnaître le type et d'appliquer les bonnes formules.
①La notion de suite : une liste ordonnée de nombres
Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres, notés u₀, u₁, u₂, u₃… (ou à partir de u₁). Chaque nombre est un terme, et son numéro est le rang (ou indice).
②La suite arithmétique : on ajoute toujours le même nombre
Une suite est arithmétique quand on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre, la raison, notée d. Exemples : économiser 50 € par mois, remplir un réservoir à débit constant.
Exemple : épargne de 50 €/mois, départ à 200 € (u₁ = 200, d = 50). Terme général : uₙ = 200 + (n − 1) × 50 = 150 + 50n. Après 24 mois : u₂₄ = 150 + 50 × 24 = 1 350 €. Somme des 24 versements : S₂₄ = 24 × (200 + 1 350) ÷ 2 = 18 600 €.
③La suite géométrique : on multiplie toujours par le même nombre
Une suite est géométrique quand on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre, la raison, notée q. Exemples : intérêts composés, croissance de population, décroissance radioactive.
Exemple : capital de 1 000 € à 3 % par an (u₁ = 1 000, q = 1,03). Terme général : uₙ = 1 000 × 1,03^(n − 1). Après 10 ans : u₁₀ = 1 000 × 1,03⁹ ≈ 1 305 €.
④Reconnaître le type : la question clé avant tout calcul
| Critère | Arithmétique | Géométrique |
|---|---|---|
| Passage au terme suivant | on ajoute d | on multiplie par q |
| Test | uₙ₊₁ − uₙ constante | uₙ₊₁ ÷ uₙ constant |
| Terme général | u₁ + (n − 1) × d | u₁ × q^(n − 1) |
| Graphique | points alignés | points sur une courbe |
| Situations | épargne constante, paliers fixes | intérêts composés, taux annuel |
Tester sur au moins 3 termes
Piège n°1 : confondre raison arithmétique (d) et géométrique (q)
On croit : Suite 3, 6, 12, 24 : « arithmétique, d = 3 ».
En réalité : 6 ÷ 3 = 2, 12 ÷ 6 = 2, 24 ÷ 12 = 2 : rapport constant, donc géométrique, q = 2.
Toujours tester les deux : la différence ET le rapport. Si l'un est constant, le type est déterminé.
Piège n°2 : erreur d'indice dans le terme général
On croit : Pour une suite arithmétique, u₅ = u₁ + 5 × d.
En réalité : u₅ = u₁ + (5 − 1) × d = u₁ + 4 × d : on ajoute d exactement (n − 1) fois.
De u₁ à u₅, il y a 4 sauts (pas 5). De u₁ à uₙ, il y a (n − 1) sauts.
Piège n°3 : somme géométrique quand q = 1
On croit : Appliquer u₁ × (1 − qⁿ) ÷ (1 − q) avec q = 1 (division par zéro).
En réalité : Si q = 1, tous les termes valent u₁, donc Sₙ = n × u₁.
Vérifier que q ≠ 1 avant d'utiliser la formule de somme géométrique.
Piège n°4 : confondre taux et raison géométrique
On croit : « Le capital augmente de 3 % par an, donc q = 0,03. »
En réalité : Augmenter de 3 %, c'est multiplier par 1 + 0,03 = 1,03. La raison est q = 1,03.
Taux de +t % → q = 1 + t/100 ; taux de −t % → q = 1 − t/100.
Aux cycles 2 et 3, les élèves travaillent déjà des suites sans les nommer : suites de nombres pairs, tables de multiplication, régularités dans les figures. Compter de 5 en 5, c'est déjà une suite arithmétique de raison 5.
Ce qu'il faut maîtriser : reconnaître qu'un phénomène courant (épargne, croissance, population) se modélise par une suite, en identifier le type, et appliquer les formules pour répondre à des questions de prévision.
Les suites arithmétiques sont implicitement au cœur de la numération et du calcul en primaire. Savoir qu'ajouter toujours le même nombre construit une suite arithmétique permet d'enseigner avec plus de profondeur les régularités que les élèves observent.
Méthode
Trois éléments suffisent à tout calculer
Quelle est la nature de la suite 10, 7, 4, 1… ? Donner la raison.
Suite arithmétique u₁ = 10, d = 5. Calculer u₇.
Un capital augmente de 4 % par an. Quelle est la raison q de la suite ?
Calculer la somme des 5 premiers termes de la suite arithmétique 3, 7, 11, 15, 19.