Statistiques descriptives
Séries statistiques · effectifs et fréquences · représentations graphiques · indicateurs de position (moyenne, médiane, quartiles) · dispersion · lecture critique.
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Comprendre
Pourquoi les statistiques ?
Autre situation : une évaluation de 28 élèves, moyenne 12,5/20. Mais les élèves sont-ils très dispersés (de 2 à 20) ou homogènes (de 10 à 15) ? Les indicateurs de dispersion répondent. Les statistiques sont omniprésentes au CRPE : tableau, graphique, calcul d'indicateurs, interprétation critique. La maîtrise de la médiane, des quartiles et de la boîte à moustaches est discriminante.
①Vocabulaire et tableaux
| Terme | Définition | Exemple (notes sur 20) |
|---|---|---|
| Population | ensemble des individus étudiés | la classe de 28 élèves |
| Caractère | propriété mesurée sur chaque individu | la note à l'évaluation |
| Quantitatif | valeur numérique (moyenne possible) | 14/20 |
| Qualitatif | catégorie (pas de moyenne) | couleur des yeux |
| Effectif nᵢ | nombre d'individus ayant la valeur xᵢ | 5 élèves ont eu 14 |
| Effectif total N | taille de la population = Σ nᵢ | N = 28 |
| Effectif cumulé | somme des effectifs jusqu'à xᵢ inclus | jusqu'à 14 : 23 élèves |
| Fréquence fᵢ | fᵢ = nᵢ ÷ N (entre 0 et 1) | 5/28 ≈ 17,9 % |
Caractère qualitatif ordonné
②Les représentations graphiques
| Graphique | Quand l'utiliser | Attention |
|---|---|---|
| Diagramme en barres | qualitatif ou quantitatif discret | les barres ne se touchent pas |
| Histogramme | données groupées en classes (continu) | les barres se touchent ; surface ∝ effectif si classes inégales |
| Diagramme circulaire | répartition en % de catégories | peu lisible au-delà de 6 secteurs |
| Boîte à moustaches | comparer la dispersion de séries | nécessite min, Q1, médiane, Q3, max |
Histogramme à classes inégales
③Les indicateurs de position
| Indicateur | Définition | Sur 28 élèves | Sensible aux extrêmes ? |
|---|---|---|---|
| Mode | valeur d'effectif le plus élevé | 12 (effectif 8) | non |
| Médiane | coupe la série triée en deux moitiés | 12 | non |
| Moyenne x̄ | x̄ = Σ(nᵢ × xᵢ) ÷ N | 352 ÷ 28 ≈ 12,57 | oui |
Sur 28 élèves : rangs 14 et 15, tous deux dans la tranche 12 → médiane = 12.
Moyenne sensible aux extrêmes
④Quartiles, dispersion et boîte à moustaches
Les quartiles découpent la série triée en quatre parts de 25 %. Méthode du programme cycle 4, attendue au CRPE : Q1 = médiane de la moitié inférieure, Q3 = médiane de la moitié supérieure (Q2 = médiane).
| Indicateur | Formule | Sur 28 élèves |
|---|---|---|
| Étendue | max − min | 18 − 8 = 10 |
| Écart interquartile (EIQ) | Q3 − Q1 | 14 − 10 = 4 |
| Variance (Seconde) | Σ nᵢ × (xᵢ − x̄)² ÷ N | ≈ 7,39 |
| Écart-type (Seconde) | √variance | ≈ 2,72 |
Variance et écart-type : programme Seconde
La boîte contient les 50 % centraux. Comparer deux boîtes : regarder la position (médiane) ET la dispersion (longueur de la boîte).
Exemple comparatif : une classe B avec médiane 14 et EIQ 7 a de meilleurs résultats centraux qu'une classe A (médiane 12, EIQ 4), mais elle est bien moins homogène. On ne peut pas dire que B est « meilleure » sans préciser la dispersion.
Piège n°1 : diviser par le nombre de valeurs distinctes
On croit : Notes 8, 10, 12, 14 d'effectifs 3, 5, 8, 4 : moyenne = (8 + 10 + 12 + 14) ÷ 4.
En réalité : x̄ = (3 × 8 + 5 × 10 + 8 × 12 + 4 × 14) ÷ 20 = 226 ÷ 20 = 11,3.
La formule est Σ nᵢ × xᵢ ÷ N. Diviser par N (effectif total), jamais par le nombre de valeurs.
Piège n°2 : confondre rang et valeur pour la médiane
On croit : Série 4, 7, 9, 12, 15 : « rang 3, donc médiane = 3 ».
En réalité : Rang médian = 3, et la valeur au rang 3 est 9 : la médiane est 9.
Le rang est la position ; la valeur est le nombre écrit à cette position. Ne pas les confondre.
Piège n°3 : oublier de trier avant la médiane
On croit : Série brute 12, 4, 18, 7, 9 : valeur centrale = 18.
En réalité : Série triée 4, 7, 9, 12, 18 : valeur centrale = 9.
Toujours trier avant de chercher la médiane. Un tableau d'effectifs est déjà trié.
Piège n°4 : lire la hauteur d'un histogramme (classes inégales)
On croit : Classes [0 ; 5[ et [5 ; 15[ de même hauteur 4 : « même effectif ».
En réalité : Effectif ∝ surface : 4 × 5 = 20 contre 4 × 10 = 40. La seconde classe a deux fois plus d'individus.
Classes inégales : utiliser la densité de fréquence (hauteur = fréquence ÷ largeur).
Méthode
Un fil rouge pour toute la méthode
Notes 10 (×3) et 14 (×5). Calculer la moyenne.
Série triée 4, 7, 9, 12, 18. Donner la médiane.
Pour une série, Q1 = 11 et Q3 = 14. Quel est l'écart interquartile, et que représente-t-il ?
Un axe des ordonnées commence à 40 au lieu de 0. Quel est le risque ?