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03Partie 1 : Nombres et calcul★★★ Tombe chaque annéeCycle 4 · BOEN 2020 · Thème A

Fractions et décimaux

Sens d'une fraction · fraction irréductible · opérations · nombres décimaux · développements fini et périodique · ensemble ℚ.

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Comprendre~6 min
Méthode~4 min

Comprendre

Avant de commencer

Quand vous partagez une pizza en 4 et en mangez 3, vous utilisez la fraction 3/4. Quand vous mesurez 1 mètre 75, vous écrivez 1,75 m, un nombre décimal. Ces deux notations appartiennent au même ensemble : les rationnels (ℚ). Certains rationnels s'écrivent avec un nombre fini de décimales (0,25), d'autres jamais (1/3 = 0,333…). Cette fiche relie les deux écritures et apprend à calculer avec.

①Où se situe ℚ : le schéma d'inclusion

Un nombre rationnel est tout nombre qui peut s'écrire sous la forme a/b avec a entier et b entier non nul. ℚ contient donc les entiers (5 = 5/1, −3 = −3/1), les fractions (3/4, −2/5), les décimaux finis (0,25 = 1/4) et les rationnels non décimaux (1/3 = 0,333…).

Décimal n'est pas synonyme de rationnel

Tout décimal est un rationnel, mais tout rationnel n'est pas décimal (𝔻 ⊂ ℚ). En revanche, √2 et π ne sont pas rationnels : leur développement décimal est infini et non périodique, ils ne peuvent s'écrire sous aucune forme a/b. Les réels et les irrationnels sont détaillés dans la fiche N°4.

②Les trois sens d'une fraction

Une fraction comme 3/4 se lit de trois façons selon le contexte. Le jury apprécie qu'on sache les nommer : c'est exactement ce qu'on enseigne au cycle 3.

Partage

On partage 1 en 4 parts égales, on en prend 3.

3/4 d'une pizza coupée en 4.

Quotient

Une fraction est aussi une division.

3/4 = 3 ÷ 4 = 0,75

Opérateur

Prendre les 3/4 = multiplier par 3, diviser par 4.

3/4 de 20 = 20 × 3 ÷ 4 = 15

Fractions égales

Un même rationnel s'écrit de plusieurs façons. Pour obtenir une fraction égale, on multiplie (ou divise) le numérateur et le dénominateur par le même entier non nul : 1/2 = 2/4 = 6/12 = 50/100. Le dénominateur ne peut jamais être 0.

③La fraction irréductible

Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur n'ont plus aucun diviseur commun autre que 1 : c'est la forme la plus simple d'un rationnel. On l'obtient en divisant les deux termes par leur PGCD (plus grand commun diviseur, voir la fiche N°6).

Simplifier 24/36 :

PGCD(24, 36) = 12

24 ÷ 12 = 2 et 36 ÷ 12 = 3 → 2/3

Si on ne voit pas le PGCD, on simplifie par étapes (÷2, puis ÷3…) jusqu'à ne plus pouvoir.

④Nombres décimaux et développements

Un nombre décimal est un nombre dont l'écriture à virgule se termine : 0,25 est décimal, 0,333… ne l'est pas. Pour passer d'un décimal à une fraction, le nombre de chiffres après la virgule donne le nombre de zéros au dénominateur.

Décimal	Chiffres après la virgule	Fraction
0,3	1	3/10
0,25	2	25/100 = 1/4
0,125	3	125/1000 = 1/8
1,75	2	175/100 = 7/4

Fini ou périodique ? La méthode en 2 étapes

① Rendre la fraction irréductible. ② Regarder les facteurs premiers du dénominateur : s'il ne contient que des 2 et des 5, le développement est fini ; s'il contient un autre facteur (3, 7, 11…), il est périodique infini. Raison : un décimal fini est une fraction de dénominateur 10, 100, 1000…, or 10 = 2 × 5.

Fini (que des 2 et des 5)

1/4 → 2² → 0,25

3/8 → 2³ → 0,375

7/20 → 2² × 5 → 0,35

Périodique (autre facteur)

1/3 → 3 → 0,333…

1/7 → 7 → 0,142857…

5/6 → 2 × 3 → 0,8333…

On note la période en la surlignant : 1/3 = 0,333… À ne pas confondre avec π = 3,14159… qui ne se répète jamais (π n'est pas rationnel).

⑤Les quatre opérations et la comparaison

Addition et soustraction

Même dénominateur : on additionne les numérateurs.

Dénominateurs différents : on réduit au dénominateur commun.

1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12

Multiplication

Numérateur × numérateur, dénominateur × dénominateur.

3/4 × 2/5 = 6/20 = 3/10

Simplifier avant de multiplier évite les grands nombres.

Division

Diviser par une fraction = multiplier par son inverse.

L'inverse de a/b est b/a.

3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 5/2 = 15/8

Comparaison

Réduire au même dénominateur, puis comparer les numérateurs.

Ou produit en croix : 3/4 vs 5/7 → 21 > 20 → 3/4 > 5/7.

Le piège numéro 1

1/2 + 1/3 n'est pas 2/5. On ne touche jamais aux dénominateurs lors d'une addition : on les met d'abord au même niveau (6 ici), puis on additionne les numérateurs. 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6.

Le piège de la ficheErreur n°1

Piège n°1 : additionner les dénominateurs

On croit : 1/3 + 1/4 = 2/7.

En réalité : 1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12.

L'addition exige un dénominateur commun. On ne touche jamais directement aux dénominateurs.

Le piège de la ficheConception erronée

Piège n°2 : croire qu'une fraction est toujours inférieure à 1

On croit : « 5/3 n'est pas une fraction parce que c'est plus grand que 1 ».

En réalité : 5/3 est une fraction valide, elle vaut 1,666…, simplement supérieure à 1.

Une fraction est supérieure à 1 quand le numérateur dépasse le dénominateur. Éduscol demande de travailler ces fractions dès le CM1.

Le piège de la ficheFréquent

Piège n°3 : confondre décimal et rationnel périodique

On croit : « 0,333… est un nombre décimal ».

En réalité : 0,333… est un rationnel à développement périodique : ce n'est pas un décimal (fini). C'est 1/3.

Décimal = développement fini. Rationnel non décimal = développement périodique infini. Les deux sont dans ℚ.

Le piège de la ficheErreur de calcul

Piège n°4 : simplifier par un facteur non commun

On croit : Simplifier 14/21 en divisant seulement le numérateur : « = 7/21 ».

En réalité : PGCD(14, 21) = 7. On divise les deux termes : 14 ÷ 7 = 2, 21 ÷ 7 = 3 → 2/3.

Le diviseur doit être commun au numérateur ET au dénominateur, et on divise toujours les deux.

Ce que ça donne à l'école primairele regard du futur enseignant

Cycle 2 (CP-CE2) : premiers partages (moitié, quart, tiers) sans notation fractionnaire.

Cycle 3 (CM1-6e) : fractions et décimaux s'installent. Le programme (BOEN 2020) précise de construire les décimaux à partir des fractions décimales (1/10, 1/100…), puis d'introduire l'écriture à virgule comme convention. Éduscol insiste : ne pas présenter le décimal comme « deux nombres séparés par une virgule », mais comme un nombre à part entière.

Ce que vous devez savoir dire : « Les fractions et les décimaux s'enseignent en lien étroit au cycle 3. Les décimaux se construisent comme cas particulier des fractions. Le passage de la fraction à l'écriture à virgule est une convention à expliciter, pas seulement à appliquer. »

Méthode

Quatre savoir-faire exigibles au concours

La méthode ① conditionne les autres (simplifier). Lisez-les dans l'ordre. Chacune se termine par un checkpoint pour vérifier.

①

MéthodeRendre une fraction irréductible

Question typique : « Donner la fraction irréductible égale à 36/48 ».

Trouver le PGCD du numérateur et du dénominateur.

Diviseurs de 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

Diviseurs de 48 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48

Diviseurs communs : 1, 2, 3, 4, 6, 12 → PGCD = 12

Diviser les deux termes par le PGCD.

36 ÷ 12 = 3

48 ÷ 12 = 4 → 3/4

Vérifier que la fraction obtenue est bien irréductible.

PGCD(3, 4) = 1 ✓ → 3/4 est irréductible

Si on ne voit pas le PGCD, simplifier par étapes (÷2, ÷3…) jusqu'à PGCD = 1.

Checkpointà vous de jouer

30 secondes

Rendre irréductible : 18/24.

②

MéthodeAdditionner ou soustraire des fractions

Question typique : « Calculer 2/3 + 3/4 − 1/6 ». On ne peut additionner que des parts de même taille : il faut d'abord un dénominateur commun.

Trouver le dénominateur commun (le plus petit multiple commun des dénominateurs).

Dénominateurs : 3, 4, 6

Multiples de 6 : 6, 12… · de 4 : 4, 8, 12… · de 3 : 3, 6, 9, 12…

Premier commun = 12

Commencer par les multiples du plus grand dénominateur fait gagner du temps.

Convertir chaque fraction au dénominateur 12.

2/3 = 8/12 · 3/4 = 9/12 · 1/6 = 2/12

Opérer uniquement sur les numérateurs.

8/12 + 9/12 − 2/12 = (8 + 9 − 2)/12 = 15/12

Simplifier le résultat.

PGCD(15, 12) = 3 → 15 ÷ 3 = 5, 12 ÷ 3 = 4 → 5/4

Toujours simplifier : une fraction non irréductible est une réponse incomplète au concours.

Checkpointà vous de jouer

30 secondes

Calculer 1/2 + 1/3.

③

MéthodeMultiplier ou diviser des fractions

Questions typiques : « Calculer 5/6 × 9/10 » et « Calculer 3/8 ÷ 15/4 ».

Multiplication : numérateur × numérateur, dénominateur × dénominateur (pas besoin de dénominateur commun).

5/6 × 9/10 = 45/60

PGCD(45, 60) = 15 → 3/4

Division : multiplier par l'inverse de la fraction qui divise.

3/8 ÷ 15/4 = 3/8 × 4/15 = 12/120 = 1/10

On n'inverse que la fraction par laquelle on divise, pas les deux.

Simplifier avant de multiplier évite les grands nombres (ex. 3/9 = 1/3 avant de poser le produit).

Checkpointà vous de jouer

30 secondes

Calculer 2/3 ÷ 4/9.

④

MéthodeConvertir entre fraction et décimal

Questions typiques : écriture décimale de 7/8, fraction irréductible de 0,36, savoir si 5/12 a un développement fini.

Fraction → décimal : diviser le numérateur par le dénominateur.

7 ÷ 8 = 0,875

La calculatrice est autorisée à l'écrit du CRPE.

Décimal → fraction : écrire sur la puissance de 10 correspondante, puis simplifier.

0,36 = 36/100, PGCD(36, 100) = 4 → 9/25

Fini ou périodique : rendre irréductible, puis regarder le dénominateur.

5/12 irréductible, dénominateur 2² × 3

Le 3 n'est ni un 2 ni un 5 → périodique : 5 ÷ 12 = 0,41666…

Checkpointà vous de jouer

30 secondes

Le développement décimal de 3/20 est-il fini ?

Méthode bien en tête ? Entraînez-vous.

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