Nombres relatifs
Entiers positifs et négatifs · droite graduée · opposé et valeur absolue · règles des signes · priorités opératoires.
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Comprendre
Avant de commencer
①La famille des nombres : où se situent les entiers relatifs
Les ensembles de nombres s'emboîtent comme des poupées russes : chaque ensemble contient le précédent et y ajoute de nouveaux nombres. Ce schéma couvre les quatre premières fiches de la partie Nombres : gardez-le en tête, il revient souvent.
| Ensemble | Notation | Ce qu'il contient | Exemples |
|---|---|---|---|
| Entiers naturels | ℕ | 0 et tous les entiers positifs | 0, 1, 2, 3, 100… |
| Entiers relatifs | ℤ | ℕ et tous les entiers négatifs | …−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3… |
| Rationnels | ℚ | ℤ, les fractions et les décimaux | 1/2 · −3/4 · 0,25 |
| Réels | ℝ | ℚ et les irrationnels | √2 · π · −√5 |
②Les entiers relatifs : droite graduée, opposé, valeur absolue
Un entier relatif est un entier muni d'un signe : positif (+) ou négatif (−). On note ℤ l'ensemble de tous les entiers relatifs. L'outil pour les visualiser est la droite graduée, orientée de gauche (les plus petits) vers la droite (les plus grands).
Comparer des relatifs : la règle de la droite graduée
−100 < −5 < −1 < 0 < 1 < 5 < 100.
−100 est plus petit que −1, même si 100 > 1. Le signe prime toujours sur la magnitude.
③Opérations : les règles des signes à automatiser
Les opérations sur les relatifs prolongent ce qu'on sait sur les naturels, avec des règles de signes qu'il faut automatiser. Un candidat qui hésite sur les signes perd un temps précieux au concours.
Deux signes − qui se suivent se transforment en +.
Mnémotechnique : « les ennemis de mes ennemis sont mes amis », deux négatifs donnent un positif.
Priorités opératoires : l'ordre à respecter
Exemple : 3 + 2 × (−4) − (−1) = 3 + (−8) − (−1) = 3 + (−8) + 1 = −4.
Les priorités opératoires sont approfondies dans la fiche N°5.
Comme pour 3² = 3 × 3 = 9, on multiplie le nombre par lui-même autant de fois que l'indique l'exposant. La règle des signes fait le reste.
Les parenthèses changent tout
Piège n°1 : confondre signe et opération
On croit : Lire 5 − (−3) et calculer 5 − 3 = 2.
En réalité : Soustraire un négatif, c'est ajouter son opposé : 5 − (−3) = 5 + 3 = 8.
Deux signes − qui se suivent deviennent un +.
Piège n°2 : croire que −8 > −3
On croit : « 8 > 3 donc −8 > −3 ».
En réalité : Sur la droite graduée, −8 est à gauche de −3, donc −8 < −3.
Plus un négatif a une grande valeur absolue, plus il est petit. Visualiser la droite.
Piège n°3 : oublier les priorités opératoires
On croit : 3 + 2 × 4 = 5 × 4 = 20.
En réalité : 3 + 2 × 4 = 3 + 8 = 11 : on multiplie d'abord.
× et ÷ sont prioritaires sur + et −, sauf indication des parenthèses.
Piège n°4 : confondre opposé et valeur absolue
On croit : « −(−3) = −3 » · « |−5| = −5 ».
En réalité : −(−3) = +3 (opposé de −3) · |−5| = 5 (distance à 0, toujours positive).
La valeur absolue est toujours ≥ 0 ; l'opposé peut être négatif, nul ou positif.
Les négatifs n'apparaissent pas au programme de l'école primaire : ils entrent officiellement en cycle 4 (5e). Mais les comprendre est indispensable pour deux raisons.
Le sens des opérations : la soustraction à l'école (8 − 3 = 5) est en réalité une addition avec un relatif. Comprendre cela aide à expliquer pourquoi on ne peut pas faire 3 − 8 dans ℕ, et prépare le terrain pour ℤ au collège.
La droite graduée : les élèves de CE2 travaillent la droite numérique avec les positifs. C'est le même outil, qu'il suffit d'étendre vers la gauche pour entrer dans ℤ. Le jury apprécie qu'on fasse ce lien explicitement.
Méthode
Quatre situations types reviennent au concours
Ranger dans l'ordre croissant : −4, +1, −9, 0, +6.
Calculer (−6) + (+2) − (−5).
Sans calculer le produit, donner le signe de (−2) × (+3) × (−5), puis le résultat.
Calculer 5 − 3 × (−2).