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28Partie 4 : Espace et géométrie plane★★ Nouveauté du programme 2025Cycle 4 · Programme 2025 · Espace et géométrie

Vecteurs

Définition et égalité · lien avec la translation · somme et relation de Chasles · produit par un réel et colinéarité · coordonnées, norme et milieu.

Sur cette page

Vue d'ensemble

Au programmeLe programme en 4 étapes
  1. ①
    Vecteur et égalitéDirection, sens, longueur ; lien avec la translation et le parallélogramme.
  2. ②
    Somme et relation de ChaslesEnchaîner des vecteurs et la règle du parallélogramme.
  3. ③
    Produit par un réel et colinéaritéAgrandir, réduire, inverser un vecteur ; reconnaître des vecteurs colinéaires.
  4. ④
    Coordonnées, norme, milieuCalculer dans un repère : coordonnées d'un vecteur, longueur, milieu.

Cours

Une nouveauté du programme 2025

Les vecteurs sont un contenu introduit au cycle 4 par le programme 2025 (étudié en 3e) : c'est donc une notion attendue au concours L3, mais absente du M2. Un vecteur décrit un déplacement (une translation) : une direction, un sens et une longueur. La difficulté n'est pas le calcul, c'est la rigueur de notation (le sens compte, l'ordre des lettres aussi) et le bon usage de la relation de Chasles.

①Vecteur, égalité et lien avec la translation

Définition
Un vecteur AB⃗ est caractérisé par trois éléments :
sa direction (celle de la droite (AB)), son sens (de A vers B),
et sa longueur (la distance AB, aussi appelée norme, notée ‖AB⃗‖).

Le vecteur AB⃗ est le vecteur de la translation qui transforme A en B (voir la fiche N°24). BA⃗ a la même direction et la même longueur que AB⃗, mais le sens opposé : BA⃗ = −AB⃗.

Égalité de deux vecteurs et parallélogramme
Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même longueur.
AB⃗ = DC⃗ ⟺ ABCD est un parallélogramme.

Attention à l'ordre des sommets : pour le parallélogramme ABCD, c'est AB⃗ = DC⃗ (et non AB⃗ = CD⃗). On suit le contour A → B → C → D.

Le vecteur nul 0⃗ (noté AA⃗) a une longueur nulle, pas de direction propre. Deux points A et B sont confondus si et seulement si AB⃗ = 0⃗.

②Somme de vecteurs et relation de Chasles

Les deux façons d'additionner
Relation de Chasles : AB⃗ + BC⃗ = AC⃗
(on enchaîne les déplacements ; la lettre d'arrivée du premier
est la lettre de départ du second).
Règle du parallélogramme : si AB⃗ et AD⃗ partent du même point A,
leur somme AB⃗ + AD⃗ = AC⃗, où ABCD est un parallélogramme.

Reconnaître la bonne configuration

Chasles s'utilise quand les vecteurs s'enchaînent (bout à bout) : AB⃗ + BC⃗. La règle du parallélogramme s'utilise quand les vecteurs partent du même point : AB⃗ + AD⃗. Les deux donnent le même type de résultat, on choisit selon la figure.
La relation de Chasles sert aussi à décomposer un vecteur : AC⃗ = AB⃗ + BC⃗ permet d'introduire un point intermédiaire B utile dans une démonstration.

③Produit par un réel et colinéarité

Multiplier un vecteur par un nombre
Le vecteur k·u⃗ (k réel) a la même direction que u⃗.
Si k > 0 : même sens ; si k < 0 : sens opposé.
Sa longueur est |k| × ‖u⃗‖.

Exemples : 2·u⃗ est deux fois plus long, même sens ; −u⃗ a la même longueur, sens opposé.

Vecteurs colinéaires
Deux vecteurs u⃗ et v⃗ (non nuls) sont colinéaires
s'ils ont la même direction, c'est-à-dire s'il existe un réel k tel que v⃗ = k·u⃗.

Conséquences utiles : AB⃗ et AC⃗ colinéaires ⟺ A, B, C alignés ; AB⃗ et CD⃗ colinéaires ⟺ (AB) et (CD) parallèles. C'est le lien des vecteurs avec le parallélisme et l'alignement (voir la fiche N°22).

④Coordonnées, norme et milieu dans un repère

Calculer dans un repère
Coordonnées d'un vecteur : AB⃗ = (xB − xA ; yB − yA) (arrivée − départ).
Somme : si u⃗ = (x ; y) et v⃗ = (x' ; y'), alors u⃗ + v⃗ = (x + x' ; y + y').
Produit : k·u⃗ = (kx ; ky).
Norme : ‖AB⃗‖ = √((xB − xA)² + (yB − yA)²).
Milieu de [AB] : I = ((xA + xB)/2 ; (yA + yB)/2).

Les coordonnées d'un vecteur ne dépendent pas de sa position, seulement du déplacement. Le repérage du plan est traité dans la fiche N°17.

Marqué « Seconde » : le critère de colinéarité par les coordonnées (u⃗ et v⃗ de coordonnées (x ; y) et (x' ; y') sont colinéaires lorsque xy' − x'y = 0) et le produit scalaire relèvent du programme de Seconde, pas du cycle 4. Au L3, on reconnaît la colinéarité par l'existence d'un réel k tel que v⃗ = k·u⃗.
Le piège de la ficheTrès fréquent

Piège n°1 : confondre AB⃗ et BA⃗

On croit : Écrire AB⃗ = BA⃗ parce que c'est « la même droite ».

En réalité : AB⃗ et BA⃗ ont la même longueur et la même direction, mais des sens opposés : BA⃗ = −AB⃗.

Le sens fait partie du vecteur : toujours lire l'ordre des lettres (départ → arrivée).

Le piège de la ficheClassique

Piège n°2 : mal enchaîner la relation de Chasles

On croit : Écrire AB⃗ + CB⃗ = AC⃗.

En réalité : La lettre d'arrivée du premier vecteur doit être la lettre de départ du second : AB⃗ + BC⃗ = AC⃗.

Vérifier que la lettre du milieu se répète et s'élimine (AB + BC = AC).

Le piège de la ficheÀ surveiller

Piège n°3 : ordre des sommets du parallélogramme

On croit : Conclure « ABCD parallélogramme » à partir de AB⃗ = CD⃗.

En réalité : Pour le parallélogramme ABCD, c'est AB⃗ = DC⃗ (contour A → B → C → D). AB⃗ = CD⃗ donnerait un parallélogramme « croisé ».

Suivre le contour dans l'ordre des sommets et comparer des côtés opposés.

Le piège de la ficheCalcul

Piège n°4 : coordonnées calculées à l'envers

On croit : Calculer AB⃗ = (xA − xB ; yA − yB).

En réalité : On fait toujours arrivée moins départ : AB⃗ = (xB − xA ; yB − yA).

Penser « B moins A » dans le même ordre que le nom du vecteur AB⃗.

Ce que ça donne à l'écolele regard du futur enseignant

Les vecteurs ne sont pas enseignés à l'école primaire : ils apparaissent au cycle 4 (3e) avec le programme 2025. Mais l'idée de déplacement est préparée bien avant : au cycle 3, les élèves codent des déplacements sur quadrillage (« avance de 3 cases vers la droite »), ce qui est exactement l'intuition d'un vecteur.

Pour le concours L3 : maîtriser la notation (le sens et l'ordre des lettres comptent), la relation de Chasles, le lien égalité de vecteurs / parallélogramme, et le calcul des coordonnées et de la norme dans un repère.

Le vecteur fait le pont entre plusieurs notions déjà vues : la translation (transformation), l'alignement et le parallélisme, et le repérage dans le plan.

Méthode

Notation rigoureuse, justification systématique

Sur les vecteurs, la moitié des points se gagne à la notation (sens, ordre des lettres) et à la justification (citer Chasles, l'égalité de vecteurs ou la colinéarité). On rédige chaque conclusion.
①
MéthodeMontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme
Question type : « A(0 ; 0), B(3 ; 1), C(5 ; 4), D(2 ; 3). Montrer que ABCD est un parallélogramme. »
1
Calculer les coordonnées de AB⃗ et DC⃗.
AB⃗ = (3 − 0 ; 1 − 0) = (3 ; 1)
DC⃗ = (5 − 2 ; 4 − 3) = (3 ; 1)
2
Comparer et conclure.
AB⃗ = DC⃗, donc ABCD est un parallélogramme.
Comparer AB⃗ et DC⃗ (et non CD⃗) : on suit le contour A → B → C → D.
Checkpointà vous de jouer
30 secondes

E(1 ; 1), F(4 ; 2), G(6 ; 5), H(3 ; 4). EFGH est-il un parallélogramme ?

②
MéthodeSimplifier une expression avec la relation de Chasles
Question type : « Simplifier AB⃗ + BC⃗ + CD⃗. »
1
Enchaîner les vecteurs bout à bout.
AB⃗ + BC⃗ = AC⃗ (les B s'éliminent)
2
Recommencer jusqu'au bout.
AC⃗ + CD⃗ = AD⃗ (les C s'éliminent)
3
Conclure.
AB⃗ + BC⃗ + CD⃗ = AD⃗
Checkpointà vous de jouer
30 secondes

Simplifier MN⃗ + NP⃗.

③
MéthodeMontrer que trois points sont alignés
Question type : « A(1 ; 2), B(3 ; 5), C(7 ; 11). Montrer que A, B, C sont alignés. »
1
Calculer deux vecteurs partant du même point.
AB⃗ = (2 ; 3) et AC⃗ = (6 ; 9)
2
Chercher un réel k tel que AC⃗ = k·AB⃗.
AC⃗ = (6 ; 9) = 3 × (2 ; 3) = 3·AB⃗
3
Conclure par la colinéarité.
AB⃗ et AC⃗ sont colinéaires, donc A, B, C sont alignés.
Checkpointà vous de jouer
30 secondes

u⃗ = (2 ; 3) et v⃗ = (6 ; 9). Sont-ils colinéaires ?

④
MéthodeCalculer une norme et un milieu
Question type : « A(1 ; 2), B(5 ; 8). Calculer la longueur AB et les coordonnées du milieu I de [AB]. »
1
Coordonnées de AB⃗ puis norme.
AB⃗ = (4 ; 6) → ‖AB⃗‖ = √(4² + 6²) = √52 = 2√13 ≈ 7,21
2
Coordonnées du milieu.
I = ((1 + 5)/2 ; (2 + 8)/2) = (3 ; 5)
Checkpointà vous de jouer
30 secondes

A(0 ; 0), B(3 ; 4). Que vaut ‖AB⃗‖ ?

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