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24Partie 4 : Espace et géométrie plane★★★ Tombe chaque annéeCycle 4 · BOEN 2020 · Thème D

Transformations du plan

Symétrie axiale · symétrie centrale · translation · rotation · homothétie · conservation des distances et des angles · axes et centres de symétrie · frises et pavages.

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Comprendre~6 min
Méthode~3 min

Comprendre

Construire, reconnaître, raisonner

Les transformations sont omniprésentes au CRPE : construire l'image d'un point ou d'une figure, identifier les axes de symétrie d'une figure, reconnaître une frise ou un pavage. La vraie difficulté est conceptuelle : distinguer les transformations qui conservent les distances (les isométries) de celle qui ne les conserve pas (l'homothétie), et savoir quelle propriété est conservée dans chaque cas. Les images se calculent souvent en repère (fiche N°17).

①Symétrie axiale : la réflexion par rapport à un axe

Définition et propriétés

M' est le symétrique de M par rapport à l'axe d

si et seulement si d est la médiatrice de [MM'].

Autrement dit : d ⊥ (MM') et d coupe [MM'] en son milieu.

Conservation : distances, angles, aires. L'orientation est inversée (c'est la seule isométrie inversante).

Axes de symétrie des figures courantes

Segment : 2 axes (la médiatrice et la droite qui le porte). Triangle isocèle : 1 axe. Triangle équilatéral : 3 axes. Rectangle : 2 axes (les médianes parallèles aux côtés). Losange : 2 axes (les diagonales). Carré : 4 axes (2 médianes + 2 diagonales). Cercle : une infinité d'axes (tout diamètre).

②Symétrie centrale : la réflexion par rapport à un point

Définition et coordonnées

M' est le symétrique de M par rapport au point O

si O est le milieu de [MM'].

Coordonnées : si O = (a, b) et M = (x, y), alors M' = (2a − x, 2b − y).

Conservation : distances, angles, aires et orientation (contrairement à la symétrie axiale). C'est aussi une rotation d'angle 180°.

Centres de symétrie et lien avec le parallélogramme

Parallélogramme, rectangle, losange, carré : 1 centre (l'intersection des diagonales). Cercle : 1 centre. Un triangle (même équilatéral) n'a pas de centre de symétrie. Propriété clé : un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si il admet un centre de symétrie. La hiérarchie des quadrilatères est détaillée dans la fiche N°19.

③Translation et rotation

Translation de vecteur v⃗

M' image de M si MM'⃗ = v⃗.

Coordonnées : v⃗ = (a, b) donne M(x, y) → M'(x + a, y + b).

Conserve distances, angles, aires, orientation.

Rotation de centre O et d'angle α

M' tel que OM = OM' et l'angle (OM⃗, OM'⃗) = α.

Conserve distances, angles, aires, orientation.

α = 180° donne la symétrie centrale ; α = 360° l'identité.

Conséquence de la translation : pour deux points M et N, les segments [MM'] et [NN'] sont parallèles et de même longueur, donc MNN'M' est un parallélogramme.

④Homothétie : agrandir ou réduire depuis un centre

Définition et effets

M' image de M par l'homothétie de centre O et de rapport k si OM'⃗ = k × OM⃗.

Conservé : angles, forme, orientation (si k > 0).

Non conservé : longueurs (×|k|), aires (×k²).

Cas particuliers : k = 1 donne l'identité, k = −1 la symétrie centrale de centre O, k = 2 un agrandissement de rapport 2. Le lien avec Thalès et la similitude est détaillé dans la fiche N°22.

L'homothétie (sauf si |k| = 1) n'est PAS une isométrie : elle change les longueurs. Mais elle conserve les angles, donc la figure image est semblable à la figure de départ.

⑤Ce qui est conservé, frises et pavages

Transformation	Distances	Aires	Orientation
Symétrie axiale	conservées	conservées	inversée
Symétrie centrale	conservées	conservées	conservée
Translation	conservées	conservées	conservée
Rotation	conservées	conservées	conservée
Homothétie (k ≠ ±1)	× \|k\|	× k²	conservée (k > 0)

Les quatre premières sont des isométries (elles conservent les distances). L'homothétie n'en est une que si |k| = 1. Les angles sont conservés par toutes ces transformations.

Une frise est un motif répété dans une seule direction (comme une bordure), classée selon les symétries qu'elle possède (il en existe 7 types). Un pavage remplit le plan dans deux directions sans trou ni chevauchement. Les transformations qui génèrent un pavage sont toujours des isométries : translations, rotations, symétries.

Composition de transformations

La composée de deux symétries axiales d'axes parallèles est une translation ; d'axes sécants, une rotation. La composée de deux symétries centrales est une translation.

Le piège de la ficheTrès fréquent

Piège n°1 : prendre les diagonales d'un rectangle pour des axes

On croit : Un rectangle a 4 axes de symétrie : les 2 diagonales et les 2 médianes.

En réalité : Un rectangle non carré a 2 axes (les médianes parallèles aux côtés). Les diagonales ne sont pas des axes.

Les diagonales ne sont axes de symétrie que pour le losange et le carré (diagonales perpendiculaires aux côtés).

Le piège de la ficheConceptuel

Piège n°2 : croire que la symétrie axiale conserve l'orientation

On croit : Après une symétrie axiale, un triangle ABC dans le sens antihoraire reste antihoraire.

En réalité : La symétrie axiale inverse l'orientation : l'image devient horaire. C'est la seule isométrie inversante.

Penser au miroir : il retourne l'image. Translation, rotation et symétrie centrale conservent l'orientation.

Le piège de la ficheClassique

Piège n°3 : confondre symétrie axiale et symétrie centrale

On croit : Identifier une transformation sur un seul point (par exemple A(1,3) → A'(1,−3)).

En réalité : Un seul point ne suffit pas : ici la symétrie d'axe y = 0 et la symétrie de centre (1, 0) coïncident. Il faut tester d'autres points.

Toujours vérifier la transformation sur plusieurs points avant de conclure.

Le piège de la ficheSubtile

Piège n°4 : croire qu'une homothétie change les angles

On croit : Après une homothétie de rapport 3, les angles sont multipliés par 3 comme les longueurs.

En réalité : Une homothétie conserve les angles. Seules les longueurs sont multipliées par |k| et les aires par k².

Homothétie : longueurs ×k, aires ×k², angles inchangés. La figure image est semblable.

Ce que ça donne à l'écolele regard du futur enseignant

Au cycle 2 (CP-CE2), les élèves reconnaissent des axes de symétrie dans des figures simples, plient une feuille pour vérifier une symétrie, et reproduisent des figures symétriques sur papier quadrillé : la symétrie est intuitive, « la figure se replie sur elle-même ».

Au cycle 3 (CM1-6e), la symétrie axiale, la symétrie centrale et la translation sont au programme. Les élèves construisent les images de figures, identifient axes et centres des polygones usuels, et étudient les frises. La rotation et l'homothétie apparaissent ensuite au cycle 4.

Ce qu'il faut maîtriser pour le CRPE : construire l'image d'un point ou d'une figure par chaque transformation, connaître le tableau des propriétés conservées, et identifier les symétries d'une figure ou d'un pavage. La distinction isométrie / non-isométrie est discriminante.

Méthode

Construire avec rigueur, identifier avec méthode

Pour construire : appliquer la définition (médiatrice, milieu, vecteur, distance et angle). Pour identifier : mesurer, comparer l'orientation, repérer les points fixes.

①

MéthodeConstruire le symétrique d'un point par rapport à un axe

Question type : « Construire M', le symétrique de M par rapport à la droite d. »

Tracer la perpendiculaire à d passant par M.

À l'équerre ou au compas

Repérer l'intersection I avec l'axe.

I sera le milieu de [MM']

Reporter MI de l'autre côté de l'axe et vérifier.

MI = IM' → [MM'] ⊥ d et I = milieu de [MM'] sur d

Checkpointà vous de jouer

30 secondes

Quelle propriété caractérise l'axe d dans la symétrie axiale qui envoie M sur M' ?

②

MéthodeSymétrie centrale : construire et calculer

Question type : « Construire M', symétrique de M par rapport à O, et donner ses coordonnées si O = (3, 1) et M = (5, 4). »

Tracer la droite (OM) et reporter OM de l'autre côté de O.

O est le milieu de [MM'], donc OM' = OM

Appliquer la formule des coordonnées.

M' = (2a − x, 2b − y) = (2×3 − 5, 2×1 − 4) = (1, −2)

Checkpointà vous de jouer

30 secondes

O = (1, 2) et M = (4, 3). Quelles sont les coordonnées de M', symétrique de M par rapport à O ?

③

MéthodeConstruire l'image par une translation

Question type : « Image du triangle ABC par la translation de vecteur v⃗ = (3 ; −2). »

Appliquer le vecteur à chaque sommet.

M(x, y) → M'(x + 3, y − 2)

Calculer chaque image.

A(1, 4) → A'(4, 2) · B(3, 6) → B'(6, 4) · C(0, 2) → C'(3, 0)

Vérifier : AA', BB', CC' égaux au vecteur v⃗.

Mêmes direction, sens et longueur

Checkpointà vous de jouer

30 secondes

Image de M(2, −1) par la translation de vecteur v⃗ = (−2, 5) ?

④

MéthodeIdentifier la transformation à partir d'une figure et de son image

Question type : « F' est l'image de F. Identifier la transformation. »

Isométrie ou non ?

Distances égales → isométrie · multipliées par un facteur → homothétie

Regarder l'orientation.

Inversée → symétrie axiale · conservée → centrale, translation ou rotation

Distinguer par les points fixes et les vecteurs.

Aucun point fixe + vecteurs AA' égaux → translation

Un point fixe → rotation ou symétrie centrale

Une droite fixe → symétrie axiale

Checkpointà vous de jouer

30 secondes

Une figure et son image sont isométriques, sans point fixe, et tous les vecteurs AA' sont égaux. Quelle transformation ?

Méthode bien en tête ? Entraînez-vous.

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