Triangles, quadrilatères, polygones
Types de triangles · inégalité triangulaire · somme des angles · cas d'égalité · parallélogramme, rectangle, losange, carré · trapèze et cerf-volant · polygones réguliers.
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Comprendre
Le cœur de la géométrie plane
①Les triangles
Les deux classifications se combinent : isocèle rectangle (angles 90°, 45°, 45°), équilatéral toujours acutangle (3 angles de 60°). Un triangle ne peut pas être à la fois rectangle et obtusangle.
3, 4, 5 → 5 < 7 ✓ (et rectangle). 2, 3, 6 → 6 < 5 faux → impossible. 3, 4, 7 → 7 < 7 faux (inégalité stricte) → points alignés.
La somme des angles d'un triangle vaut 180°. Conséquences : équilatéral → 3 angles de 60° ; rectangle → les deux angles aigus sont complémentaires ; isocèle → les deux angles à la base sont égaux.
Cas d'égalité (congruence) : deux triangles sont égaux si CCC (trois côtés), CAC (deux côtés et l'angle compris), ACA (deux angles et le côté compris). Pour les triangles rectangles, l'hypoténuse et un côté suffisent.
CCA n'est pas un cas d'égalité
②Le parallélogramme et sa famille
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. On le reconnaît par ses propriétés caractéristiques (réciproques) : côtés opposés égaux, angles opposés égaux, ou diagonales qui se coupent en leur milieu. La dernière est la plus puissante au concours, car elle ne demande que des calculs de milieu.
| Propriété | Parallélogramme | Rectangle | Losange | Carré |
|---|---|---|---|---|
| Côtés opposés parallèles et égaux | oui | oui | oui | oui |
| Quatre côtés égaux | non | non | oui | oui |
| Quatre angles droits | non | oui | non | oui |
| Diagonales de même milieu | oui | oui | oui | oui |
| Diagonales égales | non | oui | non | oui |
| Diagonales perpendiculaires | non | non | oui | oui |
La hiérarchie des quadrilatères
③Trapèze et cerf-volant : les non-parallélogrammes
④Polygones réguliers et pavages
Un polygone régulier est à la fois équilatéral (côtés égaux) et équiangle (angles égaux). Angle intérieur = (n − 2) × 180° ÷ n ; angle extérieur = 360° ÷ n. La somme des angles extérieurs d'un polygone convexe vaut toujours 360°.
Pour qu'un polygone régulier pave le plan, son angle intérieur doit diviser 360° exactement. Seuls trois conviennent : le triangle équilatéral (60°, soit 6 autour d'un point), le carré (90°, soit 4), l'hexagone (120°, soit 3). Le pentagone (108°) ne pave pas. Les abeilles utilisent l'hexagone : il couvre le maximum de surface pour un minimum de cire.
Piège n°1 : inégalité triangulaire non stricte
On croit : 3, 4, 7 forment un triangle car 7 = 3 + 4.
En réalité : L'inégalité est stricte : 7 < 3 + 4 est faux (7 = 7). Les points sont alignés, pas de triangle.
Comparer le plus grand côté à la somme des deux autres, avec une inégalité STRICTE.
Piège n°2 : CCA pris pour un cas d'égalité
On croit : Deux côtés et un angle (non compris) égaux → triangles égaux.
En réalité : CCA ne suffit pas. Les cas valides sont CCC, CAC (angle compris), ACA.
L'angle doit être COMPRIS entre les deux côtés (CAC), ou le côté entre les deux angles (ACA).
Piège n°3 : confondre carré, rectangle et losange
On croit : « Un carré est un rectangle aux côtés égaux » présenté comme si rectangle ⊂ carré.
En réalité : C'est l'inverse : carré ⊂ rectangle et carré ⊂ losange. Tout carré est un rectangle, mais pas tout rectangle.
Rectangle = angles droits ; losange = côtés égaux ; carré = les deux.
Piège n°4 : propriété simple prise pour caractéristique
On croit : « Les côtés opposés sont égaux, donc c'est un rectangle. »
En réalité : Côtés opposés égaux caractérise le parallélogramme, pas le rectangle. Pour un rectangle : diagonales égales, ou un angle droit.
Pour conclure, utiliser une propriété caractéristique (condition suffisante), pas une simple propriété.
Au cycle 2, les élèves reconnaissent et nomment les figures par la vue et le toucher (carré, rectangle, triangle, cercle), et construisent avec règle et équerre : ils reconnaissent, ils ne démontrent pas encore.
Au cycle 3, ils décrivent rigoureusement avec le vocabulaire géométrique (côtés, angles, diagonales) et commencent à justifier : ils distinguent un carré d'un losange par ses angles, un rectangle d'un parallélogramme par ses angles droits. L'inégalité triangulaire et la somme des angles du triangle apparaissent en 6e.
Ce que le jury attend : la rigueur du cycle 4 (définitions, propriétés caractéristiques, démonstrations) et la conscience de la hiérarchie des quadrilatères. Savoir d'où viennent ces notions permet d'enseigner avec pertinence.
Méthode
Identifier la notion, puis la propriété
Les longueurs 6, 6, 6 forment-elles un triangle ? De quel type ?
Triangle rectangle en C, angle en A = 27°. Quel est l'angle en B ?
Un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires. Quelle figure ?
Quelle est la première chose à vérifier pour montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme en coordonnées ?