Cercle et configurations remarquables
Vocabulaire du cercle · tangente · médiatrice et cercle · cercle inscrit et circonscrit · angle inscrit et angle au centre · longueur d'arc et aire de secteur.
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Comprendre
Le cercle apparaît toujours en configuration
①Vocabulaire du cercle
Un cercle de centre O et de rayon r est l'ensemble des points situés à distance r de O. Le disque est la surface délimitée par le cercle. Distinction essentielle : on calcule le périmètre du cercle (2πr) et l'aire du disque (πr²).
| Terme | Définition | À retenir |
|---|---|---|
| Rayon r | du centre à un point du cercle | tous les rayons sont égaux |
| Diamètre | corde passant par le centre | longueur 2r, le plus long segment |
| Corde | segment reliant deux points du cercle | le diamètre en est une |
| Arc | portion de cercle entre deux points | arc mineur ou majeur |
| Secteur | portion de disque entre deux rayons | une « part de pizza » |
Quelle fraction de tour ? (n ÷ 360) du total.
②Tangente et médiatrice d'une corde
Une tangente touche le cercle en un seul point T (point de tangence). Propriété fondamentale : la tangente est perpendiculaire au rayon OT en T. Réciproque : une droite perpendiculaire au rayon en un point du cercle est tangente.
Conséquence : pour prouver qu'une droite est tangente, montrer qu'elle est perpendiculaire au rayon au point de contact. Exemple : OT = 5 (rayon), A sur la tangente avec AT = 12 ; le triangle OTA est rectangle en T, donc OA² = 25 + 144 = 169, OA = 13.
Un point M est sur la médiatrice de [AB] si et seulement si MA = MB (équidistance). De plus, la médiatrice d'une corde passe par le centre du cercle. Application clé : pour trouver le centre d'un cercle passant par trois points A, B, C, on trace les médiatrices de [AB] et [BC] ; leur intersection est le centre.
③Cercle inscrit et cercle circonscrit
| Cercle | Centre | Rayon | Lien au triangle |
|---|---|---|---|
| Circonscrit | intersection des médiatrices | distance aux sommets | passe par les 3 sommets |
| Inscrit | intersection des bissectrices | distance aux côtés | tangent aux 3 côtés |
Mémo
Si un triangle est rectangle, le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse, et le rayon vaut la moitié de l'hypoténuse. C'est directement relié à l'angle inscrit dans un demi-cercle (section ④).
④Angle inscrit et angle au centre
Deux points A et B sont fixés sur un cercle de centre O. Pour un point M du cercle, l'angle inscrit est l'angle en M, l'angle au centre est l'angle en O ; les deux interceptent le même arc AB.
Si [AB] est un diamètre, tout point M du cercle (distinct de A, B) donne un angle AMB droit.
Vérifier la position de M
Piège n°1 : confondre rayon et diamètre dans les formules
On croit : Diamètre 10 cm : périmètre = 2π × 10 = 20π.
En réalité : r = 10 ÷ 2 = 5. Périmètre = 2π × 5 = 10π ≈ 31,4 cm.
2πr et πr² utilisent toujours le rayon : si on donne le diamètre, diviser par 2.
Piège n°2 : appliquer l'angle inscrit sans vérifier l'arc
On croit : Angle au centre 80°, M sur l'arc mineur : angle inscrit = 80 ÷ 2 = 40°.
En réalité : Sur l'arc mineur, l'angle vaut 180° − 40° = 140°.
Repérer sur quel arc se trouve M avant d'appliquer le théorème (faire un schéma).
Piège n°3 : confondre cercle inscrit et circonscrit
On croit : Tracer les médiatrices pour le centre du cercle inscrit.
En réalité : Inscrit → bissectrices (tangent aux côtés). Circonscrit → médiatrices (passe par les sommets).
Mémo : inscrIT → bIssectrIces ; cIrconscrIt → médIatrIces.
Piège n°4 : tangente perpendiculaire à une corde
On croit : « La tangente en T est perpendiculaire à la corde [TA]. »
En réalité : La tangente est perpendiculaire au rayon OT, pas à une corde quelconque passant par T.
Tangente ⊥ rayon, uniquement. Ne pas confondre rayon et corde.
Méthode
Reconnaître la configuration d'abord
Cercle de rayon 5, tangente en T, A sur la tangente avec AT = 12. Calculer OA.
Angle au centre AOB = 80°, M sur l'arc majeur. Que vaut l'angle inscrit AMB ?
Quel est le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle en A, d'hypoténuse [BC] ?
Aire du secteur de 90° dans un disque de rayon 6 cm ?