Théorème de Thalès et similitude
Configurations triangle et papillon · réciproque · calculer une longueur · prouver des droites parallèles · triangles semblables · coefficient de similitude · homothétie.
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Comprendre
La proportionnalité appliquée à la géométrie
①Énoncé et configuration triangle
Deux sécantes se croisent en un point S. Deux droites parallèles coupent ces sécantes en créant un point sur chaque demi-droite. C'est la configuration de base de Thalès.
Lecture des rapports : les numérateurs sont les segments les plus proches de S, les dénominateurs les plus éloignés. On écrit toujours les rapports dans le même sens, de S vers l'extérieur.
②Configuration papillon
Dans la configuration papillon, le point S est situé entre les points de chaque sécante : les deux droites parallèles se retrouvent de part et d'autre de S, et les segments se croisent en formant un papillon.
Comment trancher entre les deux configurations
③La réciproque : prouver que deux droites sont parallèles
Condition à vérifier avant tout : les points doivent être dans le même ordre sur chaque sécante (S, puis le point le plus proche, puis le plus éloigné).
Mode d'emploi
④Triangles semblables et critères
Deux triangles sont semblables s'ils ont les mêmes angles : même forme, mais pas forcément la même taille. La similitude est plus générale que l'isométrie, car elle n'exige pas l'égalité des côtés, seulement leur proportionnalité.
Le lien avec Thalès
⑤Coefficient de similitude et homothétie
| Grandeur | Relation avec k | Exemple k = 3 |
|---|---|---|
| Longueurs | multipliées par k | côté × 3 |
| Aires | multipliées par k² | aire × 9 |
| Volumes | multipliés par k³ | volume × 27 |
L'homothétie de centre O et de rapport k associe à tout point M le point M' tel que OM' = k × OM, sur la même demi-droite issue de O lorsque k > 0. C'est la formalisation géométrique de l'agrandissement et de la réduction.
Construction : tracer la demi-droite [OM), puis placer M' tel que OM' = k × OM, et répéter pour chaque sommet.
Homothétie et Thalès, la même configuration
Piège n°1 : écrire les rapports à l'envers
On croit : SA/SA' = SB/SB' (on mélange les deux sécantes dans un même rapport).
En réalité : SA/SB = SA'/SB' : dans chaque rapport, les deux segments sont sur la MÊME sécante.
Vérifier que numérateur et dénominateur appartiennent à la même droite avant de calculer.
Piège n°2 : multiplier l'aire par k au lieu de k²
On croit : Deux triangles semblables, k = 3, aire de 10 cm² : aire image = 3 × 10 = 30 cm².
En réalité : Les aires sont multipliées par k² = 9 : aire image = 9 × 10 = 90 cm².
Longueurs ×k, aires ×k², volumes ×k³. La dimension de la grandeur donne la puissance de k.
Piège n°3 : appliquer Thalès sans vérifier l'ordre des points
On croit : Écrire SA/SB = SA'/SB' alors que l'ordre sur la sécante est S, B, A.
En réalité : Thalès exige l'ordre S, point proche, point éloigné. Si l'ordre change, les rapports changent.
Annoter la figure et noter l'ordre des points depuis S avant d'écrire le moindre rapport.
Piège n°4 : ne pas nommer la réciproque dans la conclusion
On croit : « Les rapports sont égaux, donc les droites sont parallèles. »
En réalité : « D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AA') et (BB') sont parallèles. »
Nommer le théorème : « Thalès » pour calculer, « réciproque du théorème de Thalès » pour le parallélisme.
Méthode
La rédaction compte autant que le calcul
Dans un triangle SAA', (BB') ∥ (AA'), SA = 4, SB = 10, SA' = 6. Calculer SB'.
SM = 3, SN = 9, SM' = 5, SN' = 15 (points dans cet ordre). Les droites (MM') et (NN') sont-elles parallèles ?
△ABC ∼ △DEF, AB = 5, DE = 8, Aire(ABC) = 25 cm². Calculer l'aire de △DEF.
Pourquoi deux triangles ayant deux angles égaux sont-ils semblables ?