Périmètres, aires, volumes et conversions
Longueurs et périmètres · aires des figures usuelles · volumes des solides · conversions (×10, ×100, ×1 000) · effet d'un agrandissement (×k, ×k², ×k³).
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Comprendre
La fiche du concret
①Longueurs et périmètres
Le périmètre (P) est la longueur du contour d'une figure. Son unité est toujours une unité de longueur (cm, m), jamais cm² ou m². Pour le cercle, on parle de circonférence, mais c'est la même idée.
| Figure | Formule du périmètre | Exemple |
|---|---|---|
| Carré (côté a) | P = 4 × a | a = 5 cm → 20 cm |
| Rectangle (L, l) | P = 2 × (L + l) | L = 8, l = 3 → 22 cm |
| Triangle (a, b, c) | P = a + b + c | 3 + 4 + 5 = 12 cm |
| Cercle (rayon r) | C = 2πr = πd | r = 5 → 10π ≈ 31,4 cm |
Conversions de longueurs : ×10 entre unités consécutives
②Aires des figures usuelles
L'aire (A) mesure la surface intérieure. Son unité est toujours une unité au carré (cm², m²).
| Figure | Formule de l'aire | Exemple |
|---|---|---|
| Carré (côté a) | A = a² | a = 5 → 25 cm² |
| Rectangle (L, l) | A = L × l | 8 × 3 → 24 cm² |
| Triangle (base b, hauteur h) | A = ½ × b × h | b = 6, h = 4 → 12 cm² |
| Parallélogramme (b, h) | A = b × h | 7 × 4 → 28 cm² |
| Trapèze (bases B et b, hauteur h) | A = ½ × (B + b) × h | B = 8, b = 4, h = 3 → 18 cm² |
| Losange (diagonales d₁, d₂) | A = ½ × d₁ × d₂ | d₁ = 10, d₂ = 6 → 30 cm² |
| Disque (rayon r) | A = π × r² | r = 3 → 9π ≈ 28,3 cm² |
La hauteur est perpendiculaire à la base
L'aire est en 2D : si les côtés sont ×10, la surface est ×10² = ×100. Donc 1 m² = 10 000 cm² (et non 100), 1 ha = 10 000 m², 1 km² = 100 ha. Un carré de 1 m de côté contient 100 × 100 = 10 000 petits carrés de 1 cm².
③Volumes des solides
Le volume (V) mesure l'espace occupé. Son unité est toujours une unité au cube (cm³, m³, dm³).
| Solide | Formule du volume | Exemple |
|---|---|---|
| Cube (côté a) | V = a³ | a = 3 → 27 cm³ |
| Pavé droit (L, l, h) | V = L × l × h | 4 × 3 × 2 → 24 cm³ |
| Prisme droit (base A_b, hauteur h) | V = A_b × h | A_b = 12, h = 5 → 60 cm³ |
| Cylindre (rayon r, hauteur h) | V = π × r² × h | r = 3, h = 10 → 90π ≈ 283 cm³ |
| Pyramide ou cône (base A_b, h) | V = ⅓ × A_b × h | A_b = 16, h = 6 → 32 cm³ |
| Sphère (rayon r) | V = 4/3 × π × r³ | r = 3 → 36π ≈ 113 cm³ |
Le prisme et le cylindre, même logique
Le lien 1 cm³ = 1 mL est le pont entre volume géométrique et contenance.
④Effet d'un agrandissement ou d'une réduction de rapport k
Multiplier toutes les longueurs par k ne multiplie pas les aires et les volumes par k. C'est le résultat clé, et la source d'erreur numéro 1 au CRPE.
| Rapport k | Longueurs | Aires | Volumes |
|---|---|---|---|
| 2 | ×2 | ×4 (= 2²) | ×8 (= 2³) |
| 3 | ×3 | ×9 (= 3²) | ×27 (= 3³) |
| 1/2 | ÷2 | ÷4 | ÷8 |
| k | ×k | ×k² | ×k³ |
« Les côtés sont doublés, donc l'aire double » : FAUX
Piège n°1 : convertir une aire comme une longueur
On croit : 5 m² = 5 × 10 = 50 dm².
En réalité : 5 m² = 5 × 100 = 500 dm² (1 m = 10 dm, donc 1 m² = 10² = 100 dm²).
Aire : ×100 entre unités consécutives. Volume : ×1 000. Longueur : ×10.
Piège n°2 : confondre périmètre et aire
On croit : Périmètre d'un carré de côté 5 cm = 25 cm².
En réalité : Périmètre = 4 × 5 = 20 cm (en cm). Aire = 5² = 25 cm² (en cm²).
Périmètre : le tour, en cm. Aire : la surface, en cm². Vérifier toujours l'unité.
Piège n°3 : prendre un côté pour la hauteur
On croit : Triangle de côtés 5, 6, 7 cm : A = ½ × 6 × 7.
En réalité : h est la perpendiculaire abaissée sur la base, pas un côté (sauf angle droit).
Utiliser la hauteur donnée. Sans elle, l'énoncé la précise ou propose un autre chemin.
Piège n°4 : oublier π ou prendre π = 3
On croit : Aire d'un disque de rayon 4 cm = 4² = 16 cm².
En réalité : A = π × 4² = 16π ≈ 50,3 cm².
Toujours écrire π dans la formule : valeur exacte (16π) puis valeur approchée (≈ 50,3).
Méthode
Le réflexe général
Un rectangle 10 m × 7 m dont on retire un carré de 2 m de côté. Aire restante ?
Convertir 2,5 m² en cm², et 500 L en m³.
Un pavé de 20 cm × 10 cm × 5 cm contient combien de litres ?
Circonférence d'un cercle de rayon 7 cm (valeur exacte puis approchée) ?
On double les dimensions d'un cube. Son volume est multiplié par combien ?