Probabilités
Expérience aléatoire · événements · équiprobabilité · complémentaire · événements incompatibles · arbres pondérés · loi des grands nombres · simulation tableur.
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Comprendre
Pourquoi les probabilités ?
Elles sont partout : météo, jeux, assurances, médecine, sondages. Au CRPE, c'est l'un des sujets les plus testés (arbres pondérés, événement composé, lien avec le dénombrement (fiche N°7), simulation tableur). Bonne nouvelle : les probabilités demandent surtout de la méthode (bien définir les événements, construire l'arbre, lire les bonnes branches). Avec la méthode, ce sont des points assurés.
①Vocabulaire et probabilité classique
| Terme | Définition | Exemple (dé) |
|---|---|---|
| Expérience aléatoire | résultat imprévisible à l'avance | lancer un dé équilibré |
| Issue | un résultat élémentaire possible | 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 |
| Univers Ω | ensemble de toutes les issues | Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} |
| Événement | sous-ensemble de l'univers | « pair » = {2, 4, 6} |
| Événement certain | se réalise toujours (c'est Ω) | « entre 1 et 6 » |
| Événement impossible | ne se réalise jamais (c'est ∅) | « obtenir 7 » |
Formule valable uniquement en situation d'équiprobabilité (dé équilibré, tirage au hasard d'objets identiques).
②Événements composés : contraire, incompatibles, réunion
Réflexe : « au moins un… » = 1 − P(aucun). Souvent beaucoup plus rapide que le calcul direct.
| Situation | Formule |
|---|---|
| Événement contraire | P(Ā) = 1 − P(A) |
| Incompatibles (A ∩ B = ∅) | P(A ∪ B) = P(A) + P(B) |
| Cas général | P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) |
| Probabilité classique | P(A) = |A| ÷ |Ω| |
| Somme des probabilités des issues | Σ P(issues) = 1 |
Vérifier l'incompatibilité avant d'additionner
③Les arbres pondérés : l'outil central
Exemple (avec remise). Urne de 3 rouges et 5 bleues, deux tirages avec remise. P(une rouge et une bleue, dans n'importe quel ordre) = P(RB) + P(BR) = 3/8 × 5/8 + 5/8 × 3/8 = 15/64 + 15/64 = 30/64 = 15/32.
Deux vérifications obligatoires
④Loi des grands nombres et simulation tableur
C'est le pont entre statistiques et probabilités : la fréquence estime la probabilité, d'autant mieux que l'échantillon est grand.
L'erreur du joueur
| Formule | Ce qu'elle fait |
|---|---|
| =ALEA() | nombre décimal aléatoire dans [0 ; 1[ |
| =ENT(ALEA()*6)+1 | simule un dé équilibré (résultat de 1 à 6) |
| =SI(ALEA()<0,5;"Pile";"Face") | simule un lancer de pièce équilibrée |
| =NB.SI(A1:A1000;6) | compte le nombre de 6 obtenus |
| =NB.SI(A1:A1000;6)/1000 | fréquence observée du 6 (approche 1/6) |
Décortiquer =ENT(ALEA()*6)+1 : ALEA() donne un réel de 0 ; 1[, ×6 le ramène dans [0 ; 6[, ENT prend la partie entière (0 à 5), +1 décale vers {1, …, 6}. Les formules de tableur sont détaillées dans la [fiche N°27.
Piège n°1 : appliquer P = favorables/total sans équiprobabilité
On croit : Utiliser la formule classique même quand les issues n'ont pas la même chance.
En réalité : La formule P(A) = cas favorables ÷ total n'est valable que si toutes les issues sont équiprobables.
Repérer dans l'énoncé : « au hasard », « dé équilibré », « pièce non truquée » → équiprobabilité.
Piège n°2 : oublier d'additionner les chemins
On croit : P(exactement 1 rouge sur 2 tirages) = 3/8 × 5/8 = 15/64 (un seul chemin).
En réalité : Deux chemins mènent à « 1 rouge et 1 bleue » : RB et BR. P = 15/64 + 15/64 = 30/64.
Lister TOUS les chemins menant à l'événement avant de calculer.
Piège n°3 : confondre avec et sans remise
On croit : Tirage sans remise dans 3R/5B : P(2e = R) = 3/8.
En réalité : Après une rouge, il reste 2R et 5B (7 billes) : P(2e = R | 1re = R) = 2/7.
Sans remise, recompter le contenu de l'urne avant chaque branche.
Piège n°4 : confondre fréquence et probabilité
On croit : 20 lancers, 5 fois le 6 : « le dé est truqué, P(6) = 1/4 ».
En réalité : 5/20 est une fréquence observée. Un tel écart est normal sur 20 lancers : on ne peut rien conclure.
La fréquence estime la probabilité. Pas de conclusion sur un petit nombre d'essais.
Méthode
La méthode qui fait la différence
Dé équilibré. Probabilité d'obtenir un nombre pair ou égal à 1 ?
Urne de 3 rouges, 2 bleues. Tirage de 2 sans remise. P(rouge puis bleue) ?
Urne 2R, 3B, 2 tirages avec remise. P(au moins une rouge) ?
Que renvoie =SI(MOD(A1;2)=0;1;0) appliquée à un résultat de dé ?