Dénombrement et combinatoire élémentaire
Compter sans lister · principe additif · principe multiplicatif · arbre de choix · tableau à double entrée · arrangements · permutations (factorielle).
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Comprendre
Deux questions, deux outils
Situation 2 : cinq élèves, un prix à la 1re, 2e et 3e place. Combien de podiums ? 5 candidats pour la 1re place, 4 restants pour la 2e, 3 pour la 3e : 5 × 4 × 3 = 60.
Même réflexe : compter intelligemment sans tout lister. C'est le dénombrement, au programme du cycle 4, et il prépare directement les probabilités (N°12) : pour calculer une probabilité, il faut souvent commencer par compter. Lisez la fiche dans l'ordre, chaque notion en appelle une autre.
①Trois mots à connaître : cardinal, ordinal, univers
Le cardinal d'un ensemble E est le nombre d'éléments qu'il contient, noté Card(E). Il répond à « combien ? ». Exemples : Card({rouge, bleu, vert}) = 3, Card({1, 2, 3, 4, 5, 6}) = 6, Card(∅) = 0.
Le vocabulaire des expériences : une issue est un résultat élémentaire (« obtenir la face 3 »), l'univers Ω est l'ensemble de toutes les issues (Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} pour un dé, Card(Ω) = 6), et il y a équiprobabilité quand toutes les issues ont la même chance. Les outils de la fiche servent à compter Card(Ω) et Card(A) ; le calcul des probabilités vient en N°12.
②Les deux principes : additif (OU) et multiplicatif (ET)
8 romans et 5 BD, on emprunte un seul livre : 8 + 5 = 13 choix. Les possibilités s'additionnent parce qu'elles sont exclusives (choisir un roman exclut de choisir une BD).
16 élèves font du latin, 14 du théâtre, 5 les deux : 16 + 14 − 5 = 25 (les 5 ont été comptés deux fois).
3 hauts ET 4 pantalons : chaque haut va avec chacun des 4 pantalons, soit 3 × 4 = 12 tenues. Les choix s'accumulent parce qu'ils sont successifs et indépendants : on fait les deux, l'un après l'autre.
Le réflexe de reconnaissance
③Visualiser avant de calculer : arbre et tableau
Sur de petits exemples, représenter toutes les issues est utile et valorisé au concours. Deux outils, au programme du cycle 4, pour une même situation : tirer une couleur dans {Rouge, Bleu, Vert} puis une forme dans {Rond, Carré}.
Conseil concours
④Arrangements et permutations : choisir et ordonner
Reprenons le podium : 5 élèves, 3 places. On applique le principe multiplicatif, mais le nombre d'options diminue à chaque étape (5, puis 4, puis 3), car un élève déjà placé n'est plus disponible. C'est un arrangement : une liste ordonnée de p éléments distincts tirés parmi n, sans remise.
Avec remise, on aurait 5 × 5 × 5 = 125 (comme si un élève pouvait être 1re et 3e place). Sans remise, c'est toujours moins.
Un arrangement où p = n : on utilise tous les éléments et on les ordonne tous. Ranger 4 livres : 4 × 3 × 2 × 1 = 24 façons. Ce produit décroissant jusqu'à 1 est la factorielle de n, notée n!.
Une permutation est un arrangement où p = n : A(n, n) = n × (n−1) × … × 1 = n!.
Dénombrement et probabilités : la frontière
Piège n°1 : additionner quand il faut multiplier
On croit : « 3 hauts et 4 pantalons → 3 + 4 = 7 tenues. »
En réalité : On choisit un haut ET un pantalon (les deux ensemble) → 3 × 4 = 12 tenues.
ET (cumulatif) → multiplication ; OU (exclusif) → addition. Reformuler avant de choisir.
Piège n°2 : confondre avec et sans remise
On croit : « Podium de 3 places parmi 5 élèves → 5 × 5 × 5 = 125. »
En réalité : Un élève ne peut pas occuper deux places (sans remise) → A(5, 3) = 5 × 4 × 3 = 60.
Se demander : peut-on reprendre le même élément ? Si non, le nombre d'options diminue à chaque étape.
Piège n°3 : confondre arrangement et permutation
On croit : « 3 rôles à distribuer parmi 5 élèves → 5! = 120. »
En réalité : On prend p = 3 parmi n = 5, pas tous → A(5, 3) = 5 × 4 × 3 = 60.
Permutation = on ordonne TOUS les éléments. Arrangement = on en prend seulement p parmi n.
Piège n°4 : double comptage quand les ensembles se chevauchent
On croit : « 16 font du latin, 14 du théâtre → 30 élèves concernés. »
En réalité : Si 5 font les deux : 16 + 14 − 5 = 25 (on retire ceux comptés deux fois).
Le principe additif simple ne vaut que si les ensembles sont totalement disjoints.
On ne parle ni d'arrangements ni de factorielles à l'école : on construit l'intuition par des situations concrètes.
Cycle 2 : les élèves dénombrent intuitivement (« combien de façons de mettre 3 enfants en rang ? ») par manipulation et tri, sans formalisme.
Cycle 3 : les arbres de possibilités apparaissent dans le cadre des probabilités. C'est le premier contact avec le principe multiplicatif, sans que le terme soit employé.
Cycle 4 : le BOEN 2020 mentionne explicitement les tableaux à double entrée, les arbres de choix, le principe multiplicatif et les arrangements, en pont vers les probabilités.
Ce qu'il faut savoir dire au jury : « On construit l'intuition par des situations concrètes (tenues, menus, tirages) et on représente avec des arbres ou des tableaux. L'objectif est que l'élève comprenne pourquoi on multiplie : parce que chaque branche de l'arbre se subdivise de façon indépendante. »
Méthode
Trois questions à se poser, dans l'ordre
Un code à 3 chiffres, chacun de 0 à 9, répétitions permises. Combien de codes possibles ?
On lance une pièce (Pile/Face) puis un dé à 4 faces. Combien d'issues ? Combien de feuilles aurait l'arbre ?
6 élèves, 2 rôles distincts (un meneur, un porte-drapeau). Combien de façons de les désigner ?
Combien de binômes de 2 élèves (sans rôle) peut-on former dans un groupe de 4 ?