Calcul littéral et expressions algébriques
Variable et inconnue · réduire · développer · factoriser · distributivité · identités remarquables · prouver par le calcul · programmes de calcul.
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Comprendre
Pourquoi utiliser des lettres ?
C'est exactement le calcul littéral : utiliser des lettres pour raisonner sur tous les nombres à la fois, au lieu de tester cas par cas. C'est un outil de preuve et de généralisation, au programme du cycle 4, présent dans chaque sujet CRPE : développer, factoriser, prouver, lire et traduire un programme de calcul. Lisez la fiche dans l'ordre.
①Variable et inconnue : une lettre, deux rôles
Selon le contexte, une même lettre joue deux rôles très différents. Les confondre est une des premières sources d'erreur.
Même lettre, rôles opposés
②Réduire et développer
Réduire, c'est regrouper les termes du même type : les termes en x ensemble, les termes en x² ensemble, les nombres seuls ensemble. Des termes sont semblables s'ils ont la même partie littérale (même lettre, même exposant).
On ne peut pas regrouper 3x et 5 (l'un a un x, l'autre non), ni 2x et 2x² (exposants différents) : comme des pommes et des oranges.
Développer, c'est transformer un produit en somme en distribuant. Distributivité simple : k(a + b) = ka + kb.
Avec un signe −, le facteur change le signe de chaque terme : −(x − 4) = −x + 4 (et non −x − 4).
Double distributivité : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd. Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde, soit 4 produits avant réduction.
③Factoriser et identités remarquables
Factoriser, c'est l'opération inverse du développement : partir d'une somme et l'écrire comme un produit, en « sortant » un facteur commun à tous les termes. Développer : 3(x + 2) = 3x + 6 ; factoriser : 3x + 6 = 3(x + 2).
Trouver le facteur commun
Elles fonctionnent dans les deux sens : pour développer ET pour factoriser.
Au concours, l'identité 3 est souvent la plus utile pour factoriser : dès qu'on voit une différence de deux carrés (a² − b²), on écrit (a + b)(a − b).
④Prouver par le calcul : ce que le jury valorise
Prouver par le calcul, c'est utiliser une lettre pour montrer qu'une propriété est vraie pour tous les nombres, pas seulement pour quelques exemples. C'est la différence entre observer et démontrer.
Un programme de calcul décrit une suite d'opérations sur un nombre de départ. On le traduit en expression littérale, on développe, on interprète. Exemple : programme P, « choisir n, lui ajouter 4, multiplier par n, ajouter 4 » ; programme Q, « choisir le même n, lui ajouter 2, élever au carré ».
| Notation | Désigne | Exemples |
|---|---|---|
| 2k | tout entier pair | 0, 2, 6, −4 (k entier) |
| 2k + 1 | tout entier impair | 1, 3, 5, −1 (k entier) |
| 3k | tout multiple de 3 | 0, 3, 12 (k entier) |
| n et n + 1 | deux entiers consécutifs | 5 et 6 · 12 et 13 |
| n − 1, n, n + 1 | trois entiers consécutifs | milieu n ; somme = 3n |
Exemple de preuve complète. Propriété : (n + 1)² − n² est toujours impair. Soit n un entier. (n + 1)² − n² = n² + 2n + 1 − n² = 2n + 1, de la forme 2 × (entier) + 1. Donc (n + 1)² − n² est impair, quel que soit n.
Ce que le jury attend
Piège n°1 : oublier de distribuer le signe −
On croit : −(3x − 2) = −3x − 2.
En réalité : −(3x − 2) = −3x + 2 : le − change le signe de chaque terme à l'intérieur.
Raisonner −1 × (3x − 2) = −3x + 2. Le − devant une parenthèse retourne tous les signes.
Piège n°2 : (a + b)² = a² + b²
On croit : (x + 3)² = x² + 9.
En réalité : (x + 3)² = x² + 2 × x × 3 + 9 = x² + 6x + 9.
Le terme du milieu 2ab ne disparaît jamais. Réciter « a² PLUS deux-a-b PLUS b² ».
Piège n°3 : factoriser partiellement
On croit : 6x + 9 = 2(3x) + 9 (le 2 ne sort que d'un terme).
En réalité : 6x + 9 = 3(2x + 3) : le facteur commun doit diviser TOUS les termes.
Vérifier en redéveloppant. Si le résultat ne redonne pas le départ, la factorisation est fausse.
Piège n°4 : prouver avec des exemples
On croit : « Pour n = 1, 2, 3 ça marche, donc c'est vrai. »
En réalité : Une preuve exige un raisonnement général avec une lettre. Les exemples illustrent seulement.
Un contre-exemple suffit à réfuter, mais aucun nombre d'exemples positifs ne prouve pour TOUS les entiers.
Le calcul littéral n'est pas formalisé à l'école, mais la pensée algébrique s'y construit, et le jury valorise ce lien.
Cycles 2 et 3 : les élèves rencontrent déjà l'idée à travers les suites à compléter (□ + 3 = 7), les « machines à calculer » et les formules (périmètre d'un rectangle = 2 × (L + l)). La lettre est d'abord un raccourci d'écriture, pas encore un objet manipulé.
Cycle 4 : le calcul littéral se développe pleinement (développer, factoriser, identités remarquables, prouver par le calcul, formuler et valider une conjecture).
Ce qu'il faut savoir dire au jury : « À l'école, on ne parle pas de variable ni d'expression algébrique : on dit qu'on cherche un nombre ou qu'on écrit une formule. Les programmes de calcul sont un excellent pont entre l'arithmétique du cycle 3 et l'algèbre du cycle 4 : ils construisent le sens de la variable avant le formalisme. »
Méthode
La règle d'or au CRPE
Développer et réduire (x + 5) − (2x − 3).
Factoriser au maximum 4x² − 16.
Programme : choisir x, ajouter 3, élever au carré. Traduire et développer.
Montrer que la somme de deux entiers pairs est paire.