Statistiques descriptives
Séries statistiques · effectifs et fréquences · représentations graphiques · indicateurs de position (moyenne, médiane, quartiles) · dispersion · lecture critique.
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Comprendre
Pourquoi les statistiques ?
Autre situation : une évaluation de 28 élèves, moyenne 12,5/20. Mais les élèves sont-ils très dispersés (de 2 à 20) ou homogènes (de 10 à 15) ? Les indicateurs de dispersion répondent. Les statistiques sont omniprésentes au CRPE : tableau, graphique, calcul d'indicateurs, interprétation critique. La maîtrise de la médiane, des quartiles et de la boîte à moustaches est discriminante.
①Vocabulaire et tableaux
| Terme | Définition | Exemple (notes sur 20) |
|---|---|---|
| Population | ensemble des individus étudiés | la classe de 28 élèves |
| Caractère | propriété mesurée sur chaque individu | la note à l'évaluation |
| Quantitatif | valeur numérique (moyenne possible) | 14/20 |
| Qualitatif | catégorie (pas de moyenne) | couleur des yeux |
| Effectif nᵢ | nombre d'individus ayant la valeur xᵢ | 5 élèves ont eu 14 |
| Effectif total N | taille de la population = Σ nᵢ | N = 28 |
| Effectif cumulé | somme des effectifs jusqu'à xᵢ inclus | jusqu'à 14 : 23 élèves |
| Fréquence fᵢ | fᵢ = nᵢ ÷ N (entre 0 et 1) | 5/28 ≈ 17,9 % |
Caractère qualitatif ordonné
②Les représentations graphiques
| Graphique | Quand l'utiliser | Attention |
|---|---|---|
| Diagramme en barres | qualitatif ou quantitatif discret | les barres ne se touchent pas |
| Histogramme | données groupées en classes (continu) | les barres se touchent ; surface ∝ effectif si classes inégales |
| Diagramme circulaire | répartition en % de catégories | peu lisible au-delà de 6 secteurs |
| Boîte à moustaches | comparer la dispersion de séries | nécessite min, Q1, médiane, Q3, max |
Histogramme à classes inégales
③Les indicateurs de position
| Indicateur | Définition | Sur 28 élèves | Sensible aux extrêmes ? |
|---|---|---|---|
| Mode | valeur d'effectif le plus élevé | 12 (effectif 8) | non |
| Médiane | coupe la série triée en deux moitiés | 12 | non |
| Moyenne x̄ | x̄ = Σ(nᵢ × xᵢ) ÷ N | 352 ÷ 28 ≈ 12,57 | oui |
Sur 28 élèves : rangs 14 et 15, tous deux dans la tranche 12 → médiane = 12.
Moyenne sensible aux extrêmes
④Quartiles, dispersion et boîte à moustaches
Les quartiles découpent la série triée en quatre parts de 25 %. Méthode du programme cycle 4, attendue au CRPE : Q1 = médiane de la moitié inférieure, Q3 = médiane de la moitié supérieure (Q2 = médiane).
| Indicateur | Formule | Sur 28 élèves |
|---|---|---|
| Étendue | max − min | 18 − 8 = 10 |
| Écart interquartile (EIQ) | Q3 − Q1 | 14 − 10 = 4 |
La boîte contient les 50 % centraux. Comparer deux boîtes : regarder la position (médiane) ET la dispersion (longueur de la boîte).
Exemple comparatif : une classe B avec médiane 14 et EIQ 7 a de meilleurs résultats centraux qu'une classe A (médiane 12, EIQ 4), mais elle est bien moins homogène. On ne peut pas dire que B est « meilleure » sans préciser la dispersion.
Piège n°1 : diviser par le nombre de valeurs distinctes
On croit : Notes 8, 10, 12, 14 d'effectifs 3, 5, 8, 4 : moyenne = (8 + 10 + 12 + 14) ÷ 4.
En réalité : x̄ = (3 × 8 + 5 × 10 + 8 × 12 + 4 × 14) ÷ 20 = 226 ÷ 20 = 11,3.
La formule est Σ nᵢ × xᵢ ÷ N. Diviser par N (effectif total), jamais par le nombre de valeurs.
Piège n°2 : confondre rang et valeur pour la médiane
On croit : Série 4, 7, 9, 12, 15 : « rang 3, donc médiane = 3 ».
En réalité : Rang médian = 3, et la valeur au rang 3 est 9 : la médiane est 9.
Le rang est la position ; la valeur est le nombre écrit à cette position. Ne pas les confondre.
Piège n°3 : oublier de trier avant la médiane
On croit : Série brute 12, 4, 18, 7, 9 : valeur centrale = 18.
En réalité : Série triée 4, 7, 9, 12, 18 : valeur centrale = 9.
Toujours trier avant de chercher la médiane. Un tableau d'effectifs est déjà trié.
Piège n°4 : lire la hauteur d'un histogramme (classes inégales)
On croit : Classes [0 ; 5[ et [5 ; 15[ de même hauteur 4 : « même effectif ».
En réalité : Effectif ∝ surface : 4 × 5 = 20 contre 4 × 10 = 40. La seconde classe a deux fois plus d'individus.
Classes inégales : utiliser la densité de fréquence (hauteur = fréquence ÷ largeur).
Au cycle 2, les élèves organisent des données dans des tableaux simples et les représentent par des pictogrammes ou des diagrammes en barres, sans calcul d'indicateur : l'enjeu est de lire et communiquer des données.
Au cycle 3, ils lisent des graphiques (barres, circulaires), calculent une moyenne arithmétique simple et rencontrent la notion de médiane, et repèrent des valeurs aberrantes.
Ce que le CRPE attend : expliquer à un élève de CM2 pourquoi « 5 + 9 + 12 + 14 + 20 ÷ 5 = 12 » est faux (parenthèses manquantes, priorités) ; construire une situation concrète pour distinguer moyenne et médiane (les salaires d'une entreprise où un dirigeant tire la moyenne vers le haut).
Méthode
Un fil rouge pour toute la méthode
Notes 10 (×3) et 14 (×5). Calculer la moyenne.
Série triée 4, 7, 9, 12, 18. Donner la médiane.
Pour une série, Q1 = 11 et Q3 = 14. Quel est l'écart interquartile, et que représente-t-il ?
Un axe des ordonnées commence à 40 au lieu de 0. Quel est le risque ?