Numération · Systèmes de bases
Comprendre la numération décimale · Convertir entre bases · Lire et écrire tout entier · Notations scientifiques et préfixes.
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Comprendre
Avant de commencer
①Le principe positionnel : la valeur dépend de la position
12 et 21 utilisent les mêmes chiffres mais ne valent pas la même chose. La différence, c'est la position. Dans notre système, chaque rang vaut 10 fois le rang à sa droite, c'est pour ça qu'on appelle ça le système décimal.
Formule clé : valeur d'un chiffre = chiffre × base^position. Les positions se numérotent de droite à gauche en partant de 0.
②L'indice de base : lire 1101₂ sans se tromper
Le petit chiffre en bas à droite s'appelle l'indice de base. Il indique dans quelle base est écrit le nombre. Sans indice → base 10 par défaut.
| Écriture | Signification |
|---|---|
| 345 | pas d'indice → base 10 · = trois cent quarante-cinq |
| 1101₂ | indice 2 → base 2 (binaire) · vaut 13 en décimal |
| 1F₁₆ | indice 16 → base 16 (hexadécimal) · vaut 31 en décimal |
| 17₈ | indice 8 → base 8 (octal) · vaut 15 en décimal |
Piège classique
③Les autres bases : même principe, autre rythme
On a choisi 10 parce qu'on a 10 doigts. Mais le principe positionnel fonctionne avec n'importe quelle base. L'idée clé : dans une base b, on utilise exactement b chiffres (de 0 à b−1), et on passe au rang suivant dès qu'on a compté b fois.
| Valeur réelle | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Base 10 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| Base 2 | 0 | 1 | 10 | 11 | 100 | 101 | 110 | 111 |
| Base 16 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
En base 2, on n'a que 0 et 1, dès qu'on veut écrire 2, on n'a plus de chiffre disponible : on passe au rang suivant et on écrit 10₂. Même logique qu'en base 10 où après 9 on écrit 10.
Dans chaque cas : on repère l'indice de base → on numérote les positions → on multiplie → on additionne. Rien de plus.
④Notation scientifique et préfixes : lire les très grands et très petits nombres
Forme : a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10 et n entier.
On l'utilise pour éviter d'écrire des dizaines de zéros, et pour comparer des grandeurs très différentes.
Ces préfixes se placent devant n'importe quelle unité : mètre, gramme, litre, seconde… Pour passer d'un préfixe au suivant, on multiplie ou divise par 10 (ou par une puissance de 10).
| Préfixe | Symbole | Puissance | Valeur | Exemples |
|---|---|---|---|---|
| giga | G | 10⁹ | 1 000 000 000 | Go, GHz |
| méga | M | 10⁶ | 1 000 000 | Mo, MW, MHz |
| kilo | k | 10³ | 1 000 | km, kg, ko, kW |
| hecto | h | 10² | 100 | hm, hg, ha |
| déca | da | 10¹ | 10 | dam, dag, dal |
| unité de base | 10⁰ | 1 | m, g, l, s, octet… | |
| déci | d | 10⁻¹ | 0,1 | dm, dg, dl |
| centi | c | 10⁻² | 0,01 | cm, cg, cl |
| milli | m | 10⁻³ | 0,001 | mm, mg, ms, ml |
| micro | μ | 10⁻⁶ | 0,000 001 | μm, μg |
| nano | n | 10⁻⁹ | 0,000 000 001 | nm |
Conversions courantes à ne pas confondre
1 m² = 100 dm² = 10 000 cm² · 1 km² = 1 000 000 m² · 1 ha = 10 000 m²
1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 000 cm³ · 1 dm³ = 1 L = 1 000 mL = 1 000 cm³
Bit et octet : spécifiques au numérique
Les préfixes SI s'appliquent aux octets : 1 Go = 10⁹ octets = 8 × 10⁹ bits
Exemple : une clé USB de 8 Go → 8 × 10⁹ × 8 = 6,4 × 10¹⁰ bits
⑤Écriture en lettres : les 3 règles d'accord
200 → deux cents
multiplié + rien après
205 → deux cent cinq
suivi d'un chiffre
80 → quatre-vingts
seul cas possible
82 → quatre-vingt-deux
suivi d'un chiffre
2 000 → deux mille · 5 000 → cinq mille · jamais deux
| Nombre | Correct | Erreur fréquente | Pourquoi |
|---|---|---|---|
| 80 | quatre-vingts | quatre-vingt | -s car seul |
| 81 | quatre-vingt-un | quatre-vingts-un | pas de -s : suivi de "un" |
| 200 | deux cents | deux cent | -s car 2×100, rien après |
| 201 | deux cent un | deux cents un | pas de -s : suivi de "un" |
| 2 000 | deux mille | deux milles | mille invariable |
Piège n°1 : Ne pas voir l'indice de base
On croit : Lire 1101₂ comme « mille cent un »
En réalité : Le ₂ indique la base 2, ce nombre vaut 13 en décimal, pas 1101.
Réflexe : chercher l'indice avant tout calcul. Sans indice → base 10.
Piège n°2 : Lire les restes dans le mauvais sens
On croit : Convertir 13 → base 2 : restes 1,0,1,1 → écrire 1011₂
En réalité : On lit de BAS en HAUT → 1101₂. Vérification : 8+4+0+1 = 13 ✓
La vérification prend 10 secondes et évite cette erreur à coup sûr.
Piège n°3 : Oublier les zéros intercalaires
On croit : 45 = 32+8+4+1 → écrire 10111₂ (zéro oublié en position 1)
En réalité : Positions occupées : 5,3,2,0 → positions vides : 4 et 1 → 101101₂
Lister toutes les positions de la plus haute à 0, cocher 1 ou 0 pour chacune.
Maternelle : construction du nombre comme cardinal (dénombrer) et ordinal (rang). Pas encore de système positionnel.
CP-CE2 : le principe positionnel s'installe. L'élève apprend que dans 34, le « 3 » vaut 30. Outil clé : le tableau de numération (centaines/dizaines/unités). Obstacle documenté par Éduscol : le zéro occupant, un enfant écrit « 105 » pour « 1050 » parce qu'il n'entend pas le zéro des dizaines.
Ce que vous devez savoir dire : « Notre système est positionnel et décimal, la valeur d'un chiffre dépend de sa position, chaque rang vaut 10 fois le précédent. Travailler en base 2 ou 5 au collège permet aux élèves de prendre conscience de ce principe en le voyant dans un autre contexte. »
Méthode
Si cette notion vous a toujours semblé abstraite, vous êtes au bon endroit
Une puissance, c'est quoi ?
C'est une multiplication répétée. 2³ signifie simplement « 2 multiplié 3 fois par lui-même ».
La division avec reste, c'est quoi ?
Quand on divise 13 par 2, on ne tombe pas juste. On dit : 13 = 2 × 6 + 1. Le 6 c'est le quotient. Le 1 c'est le reste.
Bonne nouvelle : vous savez déjà faire ça, vous le faites en base 10 sans y penser. On va d'abord rendre visible ce que vous faites mentalement avec 345, puis appliquer exactement la même logique à 1101₂.
La règle : chaque chiffre est multiplié par 10 élevé à sa position (0 à droite, 1 ensuite, 2 ensuite…). On additionne. C'est tout.
En base 2, on fait exactement la même chose, mais on multiplie par 2 élevé à sa position au lieu de 10.
Comme pour 345 : chaque chiffre × base^position. Ici la base est 2, c'est tout ce qui change.
En base 10 : unités (10⁰=1), dizaines (10¹=10), centaines (10²=100)… En base 2 : 1, 2, 4, 8, 16, 32… C'est le même principe, avec des paliers différents.
Convertir 110₂ en base 10, en détaillant le calcul comme ci-dessus.
Idée de base : on va diviser le nombre par la base, encore et encore. Les restes qu'on collecte en chemin forment le résultat, mais dans le sens inverse de lecture.
Ici la base est 2. On pose : 13 = 2 × ? + ?
Vérification : 2 × 6 = 12, et 12 + 1 = 13 ✓, ce reste (1) sera l'un des chiffres du résultat.
Pourquoi de bas en haut ?
Convertir 9 en base 2 par divisions successives.
La procédure est simple, c'est l'orthographe qui piège. Les 3 règles ci-dessous suffisent.
| Règle | Détail |
|---|---|
| CENT | -s si multiplié ET rien après → deux cents ✓ · *deux cent* six ✓ |
| VINGT | -s uniquement dans quatre-vingts* seul → quatre-vingt-deux* ✗ de -s |
| MILLE | toujours invariable → deux mille* ✓ · jamais deux |
Pour l'inverse : « quatre-vingt-douze » = 4×20+12 = 92. « Soixante-dix » = 60+10 = 70. « Quatre-vingt-dix » = 4×20+10 = 90.
Écrire 91 en toutes lettres.